量子力学第四章-力学量用算符表达 -郭 华忠.ppt

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1、第四章力学量用算符表达§1算符的运算规则§2动量算符和角动量算符§3厄密算符的本征值与本征函数§4算符与力学量的关系§5共同本征函数§6测不准关系（一）算符定义（二）算符的一般特性§1算符的运算规则代表对波函数（量子态）进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义（7）逆算符（8）算符函数（9）复共轭算

2、符（10）转置算符（11）厄密共轭算符（12）厄密算符（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）对易关系（6）对易括号（二）算符的一般特性（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符（2）算符相等若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（3）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(

3、Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则:ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

4、注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：（6）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。（7）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符

5、,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（9）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中（8）算符函数利用波函数标准条件:当

6、x

7、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:（10）转置算符(11)厄

8、密共轭算符由此可得：:转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成：算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。（一）动量算符（1）动量算符的厄密性（2）动量本征方程（3）箱归一化（二）角动量算符（1）角动量算符的形式（2）角动量本征

9、方程（3）角动量算符的对易关系（4）角动量升降阶算符§2动量算符和角动量算符（一）动量算符（1）动量算符的厄密性使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件。（2）动量本征方程其分量形式：证：由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。I.求解这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。如果取

10、c

11、2(2π)3=1则ψp(r)就可归一化为δ-函数。解之得到如下一组解：于是：II.归一化系数的确定采用分离变量法，令：代入动量本征方程且等式两边除以该式，得