数值代数练习题2010.doc

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1、一、指出下列说法中哪些是不正确的,并说明理由。1.用两种数学上等价的计算公式,在同一计算机上计算的结果是相同的。2.对线性方程组,如果Jacobi迭代法收敛,则相应的Gauss-Seidel迭代法也收敛。3.求解法(正则)方程是求解最小二乘问题的有效算法。二、判断正误1、一个计算问题是否病态是计算问题本身固有的属性，与所使用的计算方法没有关系。2、在计算机上进行数值计算时，满足乘法的结合率。3、线性方程组系数矩阵对称正定时，Jacobi迭代法收敛。4、对于2个变量2个方程的方程组，当Jacobi迭代收敛时，Gauss-Seidel迭代收敛。5、一个算法是否数值稳定是

2、算法本身的固有属性，与计算问题是否病态无关。6、在计算机上进行数值计算时，满足加法的结合率。7、线性方程组系数矩阵对称正定时，Gauss-Seidel迭代法收敛。8、对于2个变量2个方程的方程组，当Jacobi迭代发散时，Gauss-Seidel迭代收敛。三、简要回答下列问题：1.对线性方程组,如果Gauss-Seidel迭代收敛,则Jacobi迭代一定收敛吗？2.用数值方法解决实际问题时,必须考虑哪四种误差?3.说明求解特征值的两步平移法的好处？1.叙述矩阵广义逆的定义，指出矩阵广义逆的一个应用。2.误差可以分成几类？3.同一种数值方法是否可以有多种实现方法?效果

3、是相同的吗?4.为什么说把数据输入计算机的过程中舍入误差几乎难免?5.什么是矩阵的谱半径？请说明，在数值分析中，矩阵的谱半径有用。6.在计算机上计算何时会遇到困难?7.为什么在数值计算过程中尽量避开绝对值很小的数做分母？8.在机器数集合上，标准浮点加法是否满足结合律？为什么？9.在数值计算过程中为什么要尽量避开相近数相减？10.对于2阶线性方程组，Jacobi迭代和Seidel迭代矩阵谱半径之间有何关系？11.用数值方法解决实际问题时,为什么应该进行扰动分析?12.在计算机上计算时，应该如何计算?13.说明求解特征值的两步平移法的好处。四、范数理论1、证明（1）（2

4、）（3）2、设，证明（1）（2）对于任意酉阵和有3、证明Frobenius范数的下述性质（1）；（2）；4、设是上由向量范数诱导的算子范数，证明，如果A是上的可逆阵，那么5、设矩阵，计算6、,证明:是算子范数。7、,证明:是算子范数。8、若和都是非奇异的，证明9、设为上的一个向量范数，且为可逆矩阵,对任意的，定义，则也为上的一种向量范数。五、初等变换、矩阵分解1.对，，当时，则一定存在Householder变换使2.（1）已知向量，请给出一个镜面反射矩阵，把的后二个分量化为零。（2）已知向量，请给出一个Householder矩阵，使的后两个分量为0。3.已知向量，请

5、给出一个Gauss消元矩阵，使。4.5.A是严格对角占优矩阵，证明：A一定存在LU分解。6.已知的QR分解，如何计算增加一行的新矩阵的QR分解？7．求矩阵A部分主元LU分解。8.任一方阵都正交相似于一个上-Hessenberg阵,若H不可约，则Q、H由A及确定.P36.4.5.7.8.10P971.2.3.4.六、方程组1、设线性方程组(1).试写出系数矩阵的Cholesky分解,其中为下三角矩阵;(2).用Cholesky分解方法求解此线性方程组。2、用不选主元的直接LU三角分解法，求解方程组,并求出：3、用不选主元的直接LU三角分解法，求解方程组并求：4、设是对

6、称正定三对角阵，请设计一种方法用于求解。5、假设且,试证:(1).矩阵是可逆的,且(2).(3).(其中是算子范数)6、A是严格对角占优矩阵，证明：Gauss-Seidel迭代法收敛。7、证明:为严格对角占优阵,则Jacobi迭代求解必收敛。8、（1）试说明：求解线性方程组的G-S迭代法可以写成其中是与无关的某个矩阵。（2）试说明：求解线性方程组的Jacobi迭代法可以写成其中是与无关的某个矩阵。9、设线性方程组判断Gauss-Seidel迭代法敛散性。10、线性方程组，1）为何值时，系数矩阵是正定的？2）为何值时，Jacobi迭代收敛？3）为何值时，Gauss-S

7、eidel迭代收敛？11、设，其中a为实数，问：（1）a取何值时A是正定的？（2）对于哪些A，Jacobi迭代收敛？（3）对于哪些A，GS迭代收敛？12、、对线性方程组，当时，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，证明这两种方法要么同时收敛，要么同时发散。七、最小二乘与广义逆1、A是列满秩矩阵，证明：法方程组的解为的解。2、法方程组与同解。3、证明：为的最小范数解。4、试说明最小二乘问题与广义逆的关系。5、设（1）求（2）求的通解八、特征值1、证明：实方阵的复特征值（虚部不为零）对应的特征向量的实部与虚部必线性无关2、试用Givens旋转求上