高等数学训练之多元函数微分学.doc

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1、第三讲多元函数微分学§1概念及定理1．二元函数极限，一个，当时，恒有。注意：①动点定点的方向，方式，路径是随意的；②往往是通过选择两条不同路径求出的极限不相等不存在。例1：求；解：；；极限不存在。2．函数的连续性定义1：设在的邻域内有定义，分别给以增量，相应地得到函数的全增量，若，则称函数在点处连续。定义2：设函数在点处满足条件：①在的邻域内有定义；②存在；③；则称在点处连续。3．偏导数——①——②设仍然对可求偏导，得：；——二阶混合偏导一般讲，1．全微分①设函数在的邻域内有定义，分别给以增量，相应地得函数的全增量，若可写成：，则

2、称函数在可微。其中，，是当时的高阶无穷小，与无关，②为的全微分，记为或，即：。③当可微时，。于是：。例2：设，求。解：。取微分得：；。例3：设有方程，求在处的全微分。解：，方程两边对求偏导，得：；将代入，得：=1；方程两边对求偏导，得：；将代入，得：；故：。重要定理：：设函数在的邻域内可微，则在点处的两个偏导数和存在，并且有。：设函数在的邻域内两个偏导数，存在并且连续。则在处可微。：设的二阶偏导数连续，，即对求偏导的次序无关。注意：的连续，可导（指的是两个偏导数，存在），可微三者之间的关系：①可微可导，可微连续；②连续，不能可导；

3、连续，不能可微；③可导，不能可微；可导，不能可连续；§2多元函数的微分法一．多元简单显函数的微分法例4：设，求。解：；；。一．多元显函数的微分法①，均可微，则对的偏导数存在，并且有：，。②，均可微，则对可导并且有：。③设，均可微，则复合函数：对的偏导数存在，并且有：。注意如下事项：①用图示法表示出函数的复合关系：(1)(2)(3)②偏导数（或）的结构偏导数（或）的项数=中个变量个数，每项是两个因子的乘积，第一个因子是函数对中间变量的偏导；第二个因子是中间变量对指定自变量的偏导数。③（或）仍然是以为自变量，以为中间变量的函数，再求偏

4、导数要将前面的连锁法则再作一遍。④对于抽象的复合函数一定要设中间变量。例如：，令，。如果求的是高阶偏导数，中间变量通常用数字表示更简单。例5：设是次齐次函数，即，计算解：令，则，两边对求偏导，得：；两边同乘以，得：；故：。例6：设，均可微，求。解：；；。例7：设，求。解：令；；；；例8：设具有二阶连续的偏导，求。解：；一．隐函数微分法①设，；②，由方程确定③，只能确定两个因变量，一个自变量，若求？（意味着为自变量，均为的函数）两边对求偏导，得：由克莱姆法则：=？例9：设，求。解：，求微分得：，即：；例10：设。计算。解：两边对求偏

5、导数：，，例11：设。计算。解：设，两边对求偏导，得：，两边同乘以，得：，同理可得：。例12：设由方程确定为的二元函数，求。解：，令，两边对求导，得：§3多元函数的极值定义1：设在的邻域内有定义，为该邻域内异于的任一点，若恒有（或），则为的极小值（或极大值）。定义2：方程组的解，称为函数的驻点。：（取极值的必要条件）设为的极值，且在处的两个偏导数存在，则。：（取极值的充分条件）设在的邻域内有二阶连续的导数，且，令：①若，则；②，则不是极值；③，用配方法判别。一．无条件极值：令，①求出驻点及使无解的点；②求出二阶导数在①中点处的值；

6、③用判别。一．条件极值：设目标函数的约束条件为。极值的求法：①化为无条件极值；②利用拉氏乘数法。拉氏乘数法：①作辅助函数：令；②解方程：；③就是所求的极值或最值。最值的求法：求函数在闭区域上的最值。①先求在内可能的极值点，求出对应的函数值；②再求在的边界上的可能取值点，求出对应的函数值；③进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。例13：求在由与轴，轴所围区域上的最值。解：①先求在内可能的取值：解方程组。；②再求在的边界上的可能取值：在轴上，；在轴上，；在上，令，代入函数中，；；；③比较后，得：。例14：求抛物线上的点到直线的最短

7、距离。解：；——目标；——约束条件；令；解方程组；；例15：在第一卦限内椭球面上一点做切平面，求由切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积。解：设为第一卦限内椭球面上的一点，过该点的切平面方程为：，在三坐标轴上的截距分别为；四面体的体积：——目标；——约束条件；令：；解方程组：；。例16：求两球面与交线的最高与最低点。解：它们的交线为——约束条件；——目标；令：；解方程组；交线的最高点为：，最低点为：。