2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式优化总结学案新人教A版.docx

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1、第四讲用数学归纳法证明不等式本讲优化总结　用数学归纳法证明恒等式[学生用书P62]证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．　用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．【证明】　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…

2、＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋等式都成立．　若n∈N＋，用数学归纳法证明：cos·cos·cos…cos＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝cos，右边＝＝cos，左边＝右边，等式成立

3、．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即cos·cos·cos…cos＝，当n＝k＋1时，·cos＝·cos＝·cos＝即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，等式对n∈N＋均成立．　用数学归纳法证明不等式[学生用书P62]证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n＝k成立，推导n＝k＋1也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．　设an＝＋＋…＋(n∈N＋)，求证：n(n＋1)

4、n<(n＋1)2.【证明】　①当n＝1时，a1＝，n(n＋1)＝1，(n＋1)2＝2，所以1<<2，所以n＝1时，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即k(k＋1)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，(k＋1)2＋＝(k＋1)2＋<(k＋1)2＋＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，所以(k＋1)[(k＋1)＋1]

5、时，不等式也成立．根据①②可知对任意的n∈N＋，不等式n(n＋1)1，a1＝1＋a<，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，命题成立．即1(1－a)＋a＝1.同时，ak＋1＝＋a<1＋a＝<，故当n＝k＋1时，命题也成立，即1

6、想、证明思想的应用[学生用书P63]归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．　已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1(n∈N＋)，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．【解】　由已知得an＝·(n＋1)＝(n＋1)2，bn＝＝2n－1.当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a

7、1>b1，当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2>b2，当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3>b3，当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4>b4，当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5>b5，当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6bn.猜想：当n∈N＋，n≥6时，an

8、＋，k≥6)时，上述结论成立，即当k≥6时，(k＋1)2<2k－1.当n＝k＋1时，要证ak＋1(k＋1)2＋1，只要证(k＋2)2<[(k＋1)2＋1]×2－1，即k2＋4k＋4<2k2＋4k＋3，即只要证k2>1，由k≥6得上式显然成立，所以当n＝k＋1时，上述猜想成立．综上所述，当n∈N＋，1≤n≤5时，an>bn；当n∈N＋，n≥6时，an