高一数学第14讲：任意角的三角函数（教师版）---亚运村韩小雪.doc

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1、第14讲任意角的三角函数1任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角2象限角角的顶在原点始边与x轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k为任意整数）3弧度制同一个圆心角α所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个定值。弧长度等于半径的圆弧所对应的圆心角为1弧度的角，与圆的半径无关。以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o角度制=弧度制*180o/π2π=360o弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径）4任意角的三角函数坐标轴中角α终

2、边上一点P(x,y)，r表示P到原点的距离，则有：sinα=y/rcosα=x/rtαnα=sinα/cosα=y/x用角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1sinα/cosα=tanα5诱导公式cos(α+k*2π)=cosαsin(α+k*2π)=sinαtan(α+k*2π)=tanαcos(-α)=cosαsin(-α)=-sinαtan(-α)=-tanαcos[α+(2k+1)π]=-cosαsin[α+(2k+1)π]=-sinαtan[α+(2k+1)π]=tanαcos(α+π/2)=-sinαsin(α+π/2)=cosα6

3、常用角的弧度数与其三个三角函数值20度0o30o45o60o90o120o135o150o180o225o270o360o弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π5π/43π/22π正弦010--10余弦10---1-01正切01____--1-___1________1，相同终边角的表示2，任意角的三角函数3，诱导公式例1、若a与β的终边角相同，则a-β的终边角一定在（）A、x的非负半轴上B、x的非正半轴上C、y的非正半轴上D、y的非负半轴上解析：两者终边相同，则一定相差一周角的倍数，两者相减为一周角的整数倍，因此两者差的终边一定在x的

4、非负半轴上答案：A例2、如果a与x+450有相同的终边角,β与x-450有相同的终边角,那么a与β的关系是（）A、a=βB、a=β+900C、a=β+k·360°()D、a=β+900+k·360°解析：(x+450)-(x-450)=900，因此两者垂直，差为90020。注意相同终边的角是一个集合，而不是只有一个答案：D例3、已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解析：∵l=20－2r∴S=lr=(20－2r)·r=－r2+10r=－(r－5)2+25∴当半径r=5cm时，扇形的面积最大为25c

5、m2此时，α===2(rad)答案：当半径r=5cm，圆心角为2时，扇形的面积最大为25cm2例4、已知点P(－3,4)在角α的终边上，则的值为(　　)A．－B.C.D．－1解析：由条件知tanα＝－，∴＝＝.答案：B例5、已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是角α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.解析：由条件知x＝－4m，y＝3m，r＝＝5

6、m

7、＝5m，∴sinα＝＝，cosα＝＝－，∴2sinα＋cosα＝.答案：例6、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的

8、一点，且sinθ＝－，则y＝________.解析：

9、OP

10、＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－8.答案：－8例7、如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点，则cosα－sinα＝________.解析：由条件知，sinα＝，20∴cosα＝－，∴cosα－sinα＝－.答案：－例8、的值等于（）A．B．C．D．解析：根据诱导公式将角度转化为第一象限角，然后再求值答案：A例9、若，是第四象限角，求的值．解析：根据诱导公式化简各个

11、角度再整理，代入求值。答案：例10、设和求的值.解析：，，故原式=3．答案：3例11、设满足,（１）求的表达式；（2）求的最大值．解析：（1）由已知等式　　　　　　①得　　　　　　②由3①－②，得8，20故．（2）对，将函数的解析式变形，得＝，当时，答案：1A1．下列各组角中，终边相同的角是(　　)A.与kπ+(k∈Z)B.kπ±与(k∈Z)C.(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z)D.kπ+与2kπ±(k∈Z)答案：C2．若角、的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z）(　　)A.+=πB.－=C.－=（2k+1）πD.+=(2k+1)π

12、答案：D3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(