高考数学复习第5章平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案文北师大版.docx

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1、第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例[最新考纲]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第88页)1．两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角．(2)范围：0°≤∠AOB≤18

2、0°.(3)向量垂直：∠AOB＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．2．平面向量的数量积(1)射影的定义设θ是a与b的夹角，则

3、b

4、cosθ叫作向量b在a方向上的射影，

5、a

6、cosθ叫作向量a在b方向上的射影．(2)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把

7、a

8、

9、b

10、cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度

11、a

12、与b在a方向上的射影

13、b

14、·cosθ的乘积，或b的长度

15、b

16、与a在b方向上射影

17、a

18、cosθ的乘积．3．平

19、面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模

20、a

21、＝

22、a

23、＝数量积a·b＝

24、a

25、

26、b

27、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

28、a·b

29、与

30、a

31、

32、b

33、的关系

34、a·b

35、≤

36、a

37、

38、b

39、

40、x1x2＋y1y2

41、≤·1．平面向量数量积运算的常

42、用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．(　　)(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)[答案](1)√　(2)√　(3)×　(4)×二、教

43、材改编1．已知a·b＝－12，

44、a

45、＝4，a和b的夹角为135°，则

46、b

47、为(　　)A．12　　　　B．6　　　　C．3　　　　D．3B　[a·b＝

48、a

49、

50、b

51、cos135°＝－12，所以

52、b

53、＝＝6.]2．已知

54、a

55、＝5，

56、b

57、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2　[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

58、b

59、cosθ＝4×cos120°＝－2.]3．已知

60、a

61、＝2，

62、b

63、＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝________.　[cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所

64、以θ＝.]4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.](对应学生用书第89页)⊙考点1　平面向量数量积的运算　平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

65、a

66、

67、b

68、cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2

69、＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，

70、

71、＝1，则·＝(　　)A．－3　　　B．－2　　　C．2　　　D．3(2)[一题多解](2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.(1)C　(2)－1　[(1)∵＝－＝(1，t－3)，∴

72、

73、＝＝1，∴t＝3，∴·＝(2,3)·(1,0)＝2.(2)法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又E

74、A＝EB，∴∠EAB＝30°，在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，D(5,0)，E(1，)，B(3，)，∴＝(2，－)，＝(1，)，∴·＝(2，－)·(1，)＝－1.法二：同法一，求出EB＝EA＝2，以，为一组基底，则＝－，＝＋＝－，∴·＝(－)·＝