《正弦定理和余弦定理应用举例》..ppt

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1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).2.方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向.3.坡角坡面与水平面的夹角(如图所示).4.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角).1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A.α＞βB.α＝βC.α＋β＝90°D.α＋β＝180°解析：根据仰角和俯角的定

2、义可知α＝β.答案：B2.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A.东偏北46°B.东偏北44°C.南偏西44°D.西偏南44°解析：由方位角的定义可知，Q应在P的南偏西44°.答案：C3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析：如图所示，由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：B4.如图，在△ABC中，若A＝120

3、°，AB＝5，BC＝7，则S△ABC＝.解析：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，即49＝25＋AC2＋5AC，解之得AC＝3.∴S△ABC＝AB·ACsinA＝×5×3×＝答案：5.在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为m.解析：如图所示，设塔高为hm.由题意及图可知：(200－h)·tan60°＝解得：h＝m.答案：解决该类问题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(

4、3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.[特别警示](1)要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点.(2)测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这两个点所在的平面上选取两个可以测量距离的点，测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量

5、的两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解决问题.(2009·辽宁高考)如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449).[思路点拨][课堂笔记]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的

6、中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，即AB＝因此，BD＝≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.正、余弦定理在测高问题中的应用背景可测元素图形目标及解法底部可到达a、α求AB，AB＝atanα底部不可到达a、α、β求AB，①在△ACD中用正弦定理求AD；②AB＝AD·sinβ[特别警示]解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.[思路点拨]依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点

7、的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).[课堂笔记]在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得∴BD＝＝20.过B作BE⊥CD于E显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°，在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1).在Rt