机械优化设计数学基础.ppt

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1、第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向的变化率。二元函数的偏导数：第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度方向导数：θ2θ1o偏导数与方向导数之间的数量关系：第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度多元函数的方向导数：第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度例：第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度函数F(X)在某点X方向导数表明函数沿某一方向S的变化率。一般说来，函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。

2、以二元函数为例:函数F(X)在点X处的梯度▽F(X),可记作gradF(X)方向S的单位向量第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度梯度：方向导数与梯度的关系：函数F(X)在某点X0的梯度是一确定值，有大小和方向。第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度说明：梯度▽F(X)是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向（方向导数最大的方向），即：梯度▽F(X)方向是函数F(X)的最速上升方向；负梯度-▽F(X)方向是函数F(X)的最速下降方向。函数F(X)沿d方向的方向导数等于向量▽F(X)在d方向上的投影。当cos（▽F(X)，d）＝1时，即d与▽F(X)

3、方向相同时，向量▽F(X)在d方向上的投影最大，其值为:第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度梯度：梯度的性质：1）梯度是一个向量；2）梯度方向是方向导数最大的方向，即函数值变化最快（函数值变化率最大）的方向；3）梯度方向是等值面（线）的法线方向；4）等值面（线）的切线方向变化率为零。第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度多元函数的梯度：第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度例题：解：函数变化率最大的方向就是梯度方向，用单位向量表示，函数变化率最大的数值就是梯度的模。第二章优化设计的数学基础第一节多元函数的方向导数和梯度例题：第二章优化设

4、计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开一元函数第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开二元函数：二元函数泰勒展开式的矩阵形式：对称矩阵第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开多元函数泰勒展开式的矩阵形式：是函数在该点的梯度第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开多元函数的海赛矩阵：第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开例：多次函数（高次函数）二次函数（低次函数）泰勒二次近似式第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开多次函数（高次函数）二次函数（低次函数）泰勒二次近似式二次二维函数用向量和矩阵的表示方法：第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒

5、展开二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：第二章优化设计的数学基础第二节多元函数的泰勒展开正定矩阵：第二章优化设计的数学基础矩阵正定与负定的判定：正定：矩阵A正定的条件是A的各阶主子式大于零；负定：矩阵A负定的条件是各阶主子式负、正相间。第二节多元函数的泰勒展开第二章优化设计的数学基础第三节无约束优化问题的极值条件必要条件充分条件第二章优化设计的数学基础第三节无约束优化问题的极值条件第二章优化设计的数学基础第三节无约束优化问题的极值条件例：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划当极值点x*能使f（x*）在整个可行域中为最小值（最大值）时，即在整个可行域中对任一x都有f（x）≥

6、f（x*）（或者f（x）≤f（x*））时，则x*就是全局极小点（全局极大点）。全局极值点（最优点）：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划若f（x*）为局部可行域中的极小值（极大值）而不是整个可行域中的最小值（或最大值）时，则称x*为局部极小点（局部极大点）。局部极值点（相对极值点）：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划一个下凸的函数，它的极值点只有一个，并且该点既是局部极值点也是全局极值点，我们就称这个函数具有凸性。函数的凸性（单峰性）：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划设R是一个点集（或区域），若连接其中任意两点x1和x2的直线都属于R，则

7、称这种集合R是一个凸集。凸集：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划凸集的性质：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值，即全局最优值的函数，称为凸函数或单峰函数。凸函数：第二章优化设计的数学基础第四节凸集、凸函数和凸规划1．若f(x)为定义在凸集R上的一个凸函数，且α是一个正数（α>0），则αf(x)也必是定义在凸集R上的凸函数。2．定义在凸集R上的两个凸函数f1(x)和f2