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1、2010年南昌大学附中青年数学教师解题比赛试题2010－12－815：30－17：30一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设，,则的子集的个数是（）A．3B．2C．4D．12.已知函数在R上可导，且，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定3.南昌大学附中召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大
2、整数)可以表示为（ ）A.B.C.D.4.已知是f(x)=+2x的一个零点，且∈（1，），∈（，+），则（ ）（A）f()＜0，f()＜0（B）f()＞0，f()＞0（C）f()＞0，f()＜0（D）f()＜0，f()＞05.定义在上的函数满足，当时，则（）A．B．C．D．6.将参加香山夏令营的600名学生编号为：001，002，…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在君山、燕山、云山三个营区，从001到300在君山营区，从301到495住在燕山营区，从496到600在云山营区，通常情况下三个营区被
3、抽中的人数依次为()A．26,16,8,B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，97.已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3,且（）A．4B．2C．－2D．8.为迎接2010年广州亚运会，太月园安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、黄、蓝、绿、橙中的一种颜色，且5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。若要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒xyo1-1o
4、ooxyo1-1oxyo1-1ooxyo1-1oo9．函数的图象的大致形状是（）A B C Da=a+n结束n=n+1开始是输出s否n=1a=1s=0s=s+an≤1010．已知曲线，点A（0，－2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是（）.A．（4，＋∞）B．（－∞，10）C．（10，＋∞）D．（－∞，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．请将答案填在答题卷的相应位置上．11．右面是古风设计的的程序框图,给出了计算数列的前10项和s的算法，算法执行完毕后，输出的s为.12．的值等于13．在R上定义运
5、算对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是。14．若为满足的正数，则的最小值是。15.已知函数满足：，且，则=_____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16．（本小题满分12分）已知为的三个内角，且，求的值.17．（本小题满分12分）安德烈玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(凯旋门)或第2
6、0站(滑铁卢)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入凯旋门)的概率.18．（本小题满分12分）已知满足＞＞和的方程(＜≤2)有两个实根、，求的取值范围.19．（本小题满分12分）已知A、B是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上异于长轴端点的任一点，对于△ABC，求的值。20．（本小题满分13分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4. 已知凹槽的强度与横截面的面积
7、成正比，比例系数为,设。（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；（2）求当取何值时，凹槽的强度最大.图1图2ABCDm21．（本小题满分14分） 已知为正数，求证：(1);(2).
