2011年广州市高中青年数学教师解题比赛决赛试题与答案

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1、2011年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题（2011年4月10日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．计算A．2B．－2C．2D．－22．将抛物线沿向量平移得到抛物线，则向量为A．（－1，2）B．（1，－2）C．（－4，2）D．（4，－2）3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样

2、的方法进行.则每人入选的概率A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为4．设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是A．若，则B．若C．若D．若5．下列四个函数：①②③④，其中是偶函数，又在区间（－1，1）内连续的函数的个数是A．0B．1C．2D．36．已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率等于A．B．C．D．7．已知，集合，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．8．实数、满足不等式组则的取值范围是A．B．C．D．9．已知函数有三个不同零点，则实数的取值范围

3、为A．B．C．D．10．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A．240种B．192种C．96种D．48种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卷的相应位置上．11．右面的程序框图给出了计算数列的前8项和S的算法，算法执行完毕后,输出的S为．12．正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则此球的表面积为．13．已知动圆与定圆：=1相外切，又与定直线：相切，那么动圆的圆心的轨迹方程是．14．如图，

4、第个图形是由正边形“扩展”而来，则第个图形中共有个顶点．区学校姓名考号2011年广州市高中数学青年教师解题比赛答题卷一、选择题答案（每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题答案（每小题5分，共20分）11．12.13.14.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15．（本小题满分12分）设函数的部分图象如右图所示．（1）求的表达式；（2）若，，求的值．16．（本小题满分12分）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张.

5、每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元.某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.设该顾客购买餐桌的实际支出为（元）．（1）求的所有可能取值；（2）求的分布列和数学期望．区学校姓名考号17．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，侧棱与底面成60°的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．（1）求证：侧面；（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值．18．（本小题满分14分）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区

6、域安排三个救援中心（记为，，），在的正东方向，相距6，在的北偏东30°，相距4，为航天员着陆点，某一时刻接到的求救信号，由于、两地比距远，因此4后，、两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1/．（1）求、两个救援中心的距离；（2）求在处发现的方向角；（3）若信号从点的正上方点处发出，则、收到信号的时间差变大还是变小，说明理由．19．（本小题满分14分）区学校姓名考号已知函数的定义域为I，导数满足且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．（1）若对任意，存在，使等式成立．求证：方程不存在异于的实

7、数根；（2）求证：当时，总有成立；（3）对任意，若满足，求证：．20．（本小题满分14分）把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1357911……………………………………………………设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．（1）若，求的值；（2）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和．2011年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．题号12345678910答案AACCC

8、BCDDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．9212．3613．14．三、解答题：15．解：（1）设函数的周期为T，．所以．……………3分（2）∵，∴．……9分∴．…………12分16.解：（1）的所有可能取值为3400，2400，1400，400.………………………………2分（2），，，，的分布列为340024001400……………………10分40