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《数学第一册 教学课件 作者 张黎黎 第六章 加 法 定 理.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章 加法定理第六章 加法定理第一节 正弦、余弦的加法定理在这里我们着重研究两角和与差的三角比与这两个角的三角比的关系。图 6-1设有两个任意角α,β,它们的顶点都在直角坐标的原点,将α角的始边与x轴正半轴重合,交单位圆于R,终边OP与单位圆交于P点;将β的始边与OP重合,终边OQ与单位圆交于点Q;另作-β角,它的顶点在直角坐标系的原点,始边与x轴正半轴重合,终边OT与单位圆交于T点(如图6-1)。则由任意角的三角比定义可得:R点坐标为(1,0),P点坐标为(cosα,sinα),Q点坐标为,T点坐标为(cos(
2、-β),sin(-β)),即(cosβ,-sinβ),因为∠QOR=α+β,∠POT=α-(-β)=α+β所以∠QOR=∠POT,△QOR≅△POT则QR=PT。由两点间的距离公式因为QR2=PT2它对于任意角α和β都成立。在这个公式中用-β代替β并利用诱导公式此公式称为余弦的加法定理。例1 求cos75°和cos15°的值。解 cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=×-×=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45
3、°sin30°=×+×=例2 求值:cos36°cos9°-sin36°sin9°。解 cos36°cos9°-sin36°sin9°=cos(36°+9°)=cos45°=我们再来观察:sin(α+β)=cos=cos=coscosβ+sinsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,它对于任意角α和β都成立。在这个公式中用β代替-β,可得则有sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,此公式称为正弦的加法定理。例3 求下列各三角
4、比:(1)sin15°; (2)sin105°。解 (1)sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=×-×=(2)sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=×+×=例4 已知:sinθ=,<θ<π,求:sin。解 因为sinθ=,<θ<π所以 cosθ=-=-=-第二节 正切的加法定理我们接下来研究两角和与差的正切:由tan(α+β)==当cosα≠0,cosβ≠0时等式右边的分子和分
5、母同除以cosαcosβ,得将上述公式中的β用-β代替得两角差的正切公式:即tan(α±β)=,此公式叫做正切的加法定理,在正切加法定理的公式运用中α,β和α±β的值都不能取+kπ (k∈Z)。例1 已知:tanα=,cotβ=-,求(1)tan(α+β)的值;(2)tan(α-β)的值。解 (1)因为cotβ=-所以tanβ=-2(2)tan(α-β)===例2 若cotα=,cotβ=,α,β均为锐角,求:α+β。解 因为cotα=,cotβ=,得tanα=,tanβ=7,则因为
6、 0<α<0<β<所以 0<α+β<π由于 tan(α+β)=-1<0,所以α+β为钝角。即有α+β=。例3 已知sinx=-,x为第四象限角,求:tan。解 因sinx=-,又因x为第四象限角,所以 cosx===tanx===-tan=====例4 已知:tanα=7,tan(α-β)=-,求tanβ。解 tanβ=tan[α-(α-β)]=====-在以前学过的正弦、余弦、正切的加法定律中,当β=α时,就可以导出相应的二倍角的正弦、余弦和正切公式:第三节 二倍角
7、公式因为sin2α+cos2α=1,则cos2α=1-sin2α,代入②式得cosα=1-2sin2α,又因为sin2α=1-cos2α,代入②式得sinα=2cos2α-1。所以二倍角的余弦公式可表示为以上几个公式统称为二倍角公式。例1 已知cosα=-,α∈,求:(1)sin2α,cos2α,tan2α;(2)判断角2α所在的象限。解 (1)由cosα=-,α∈得sinα=-=-=-sin2α=2sinαcosα=2××=cos2α=2cos2α-1=2×-1=tan2α===(2)因为sin2α=
8、>0,cos2α=>0,所以2α为第一象限角。解 cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos2α-1)cosα-2sinαcosαsinα=2cos3α-cosα-2(1-cos2α)cosα=2cos3α-cosα-2cosα+2cos3α例2 用cosα表示cos3α。=4cos3α-3cosα例3
