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《2.2 参数区间估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.一、置信区间定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度、置信概率）为的置信区间.分别称为置信下限和置信上限.一旦有了样本，就把估计在区间内.这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的
2、其它准则.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.~N(0,1)选的点估计为求参数的置信度为的置信区间.例1设X1,…Xn是取自的样本，二、置信区间的求法明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解：寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使为什么这样
3、取？对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得也可简记为于是所求的置信区间为从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)称S(T,)为枢轴量.3.寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且其分布为已知.4.对于给定的置信水平，根据S(T,)的分布，确定常数a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=5.对“a≤S(T,)≤b”作等价变形,得到如下形式:则就是的100()％的置信区间.可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,)
4、,且S(T,)的分布为已知,不依赖于任何未知参数(这样我们才能确定一个大概率区间).而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.置信区间是一个随机区间，样本的每一个观测值都确定一个对应的区间.例2已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿…得100个体重数据X1,X2,…,X100的区间估计求和（置信水平为1-）.解：这是单总体均值和方差的估计已知先求均值的区间估计.因方差未知，取对给定
5、的置信度,确定分位数使即均值的置信水平为的区间估计.即为从中解得取枢轴量从中解得再求方差的置信水平为的区间估计.对给定的置信度,确定分位数使于是即为所求.2、两个正态总体参数的区间估计讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.两总体相互独立的修正样本方差分别是第一、二个总体总体的样本均值分别是第一、二个的样本个总体为第二的样本第一个总体为并设给定置信度为.,,,,),(,,,,),(,,,,12221222212112121SSYXNYYYNXXXnnsmsma-LL推导过程如下:I.例6机床厂某日从两台机床加工的零件中,分别抽取若干个样品,测得零件尺寸分别如下(单位:
6、cm):第一台机器6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.85.7,6.0,6.0,5.8,6.0第二台机器5.6,5.9,5.6,5.7,5.86.0,5.5,5.7,5.5假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且方差相等,试求两机床加工的零件平均尺寸之差的区间估计解用X表示第一台机床加工的零件尺寸,用Y表示第二台机床加工的零件尺寸,由题设经计算，得置信下限置信上限故所求的置信度为95%的置信区间为[0.0912,0.5088].推导过程如下:II.根据F分布的定义,知解例7研究由机器A和机器B生产的钢管内径,随机抽取机器A生产的管子18只,测得样本方差为
7、均未知,求方差比区间.设两样本相互独抽取机器B生产的管子13只,测得样本方差为立,且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布信解例8的置甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲加工的零件中抽取9个样品,在机床乙加工的零件信区间.假定测量值都服从正态分布,方差分别为在置信度由所给数据算得0.98下,试求这两台机床加工精度之比中抽取6个样品,并分别测得它们的长度(单位:mm),三、小结点估计不能反映估计的误差和精度,因此，本节引入了区间估计.求置信区间的一般步骤(分三步).正态总体均值与方差的区间估计当n1,n2充分大时近似置信区间五、单侧置信限单侧置信区间定
