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《2011走向高考数学5-3》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、●基础知识一、基本概念已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的,当a与b同向时,θ=;当a与b反向时,θ=,当a与b的夹角是时,a与b垂直,记作.数量叫做a与b的,记作,即.其中叫向量b在a方向上的投影.a在e上的投影为;a·b的几何意义:数量积a·b等于.非零夹角0°180°90°数量积(或内积)a⊥b
2、a
3、·
4、b
5、cosθa·ba·b=
6、a
7、·
8、b
9、cosθ
10、b
11、cosθa·ea的长度
12、a
13、与b在a的方向上的投影
14、b
15、cosθ的乘积二、数量和的运算律1.;2.;3..三、常用结论
16、1.(a±b)2=;2.(a+b)·(a-b)=;3.a2+b2=0⇔;4.
17、
18、a
19、-
20、b
21、
22、
23、a
24、+
25、b
26、.a·b=b·a(λa)·b=λ(a·b)=a·λb(a+b)·c=a·c+b·ca2±2a·b+b2a2-b2a=0且b=0≤四、数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则1.e·a==;2.a⊥b⇔;3.当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=.特别地,a·a=或
27、a
28、=;4.cosθ=;5.
29、a·b
30、≤.注意:a·b=0/⇒a=0或b=0;(a·b)·c≠a·(b·c
31、).a·e
32、a
33、cosθa·b=0
34、a
35、
36、b
37、-
38、a
39、
40、b
41、
42、a
43、2
44、a
45、
46、b
47、设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=;a2=;
48、a
49、=;若a的起点(x1,y1),终点为(x2,y2),则
50、a
51、=;a⊥b⇔;
52、a·b
53、≤
54、a
55、·
56、b
57、⇔.x1x2+y1y2x1x2+y1y2=0●易错知识一、对数量积的定义理解不透彻.1.有四个式子:①0·a=0;②0·a=0;③-④
58、a·b
59、=
60、a
61、·
62、b
63、.其中正确的序号为________.答案:②③2.在边长为2的正三角形ABC中,=________.答案:-23.设a,b,c
64、是非零向量,则(a·b)·c是()A.数量B.与a共线的向量C.与c共线的向量D.无意义答案:C二、应用数量积的运算律失误.4.给出下列命题:①若a=0,则对任一向量b,有a·b=0;②若a≠0,则对任意一个非零向量b,有a·b≠0;③若a≠0,a·b=0,则b=0;④若a·b=0,则a,b中至少有一个为0;⑤若a≠0,a·b=a·c,则b=c;⑥若a·b=a·c,且b≠c,当且仅当a=0时成立,其中正确命题的序号有________.答案:①三、用向量方法判断图形的形状失误.5.在△ABC中,已知=8,则此三角形的形状为____
65、____.答案:正三角形6.在平行四边形ABCD中,则当(a+b)2=(a-b)2时,该平行四边形为________.答案:矩形●回归教材1.下列命题正确的是()A.单位向量都相等;B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量;C.
66、a+b
67、=
68、a-b
69、,则a·b=0;D.若a0与b0是单位向量,则a0·b0=1;解析:A.单位向量仅仅长度相等,方向可能不同;B.当b=0时,a与c可以为任意向量;C.
70、a+b
71、=
72、a-b
73、,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;D.单位向量还要考虑夹角.故选C.答案:C2.判断下列
74、各命题正确的是()A.若a≠0,a·b=a·c,则b=c;B.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立;C.(a·b)c=a(b·c)对任意向量a、b、c都成立;D.对任一向量a,有a2=
75、a
76、2.解析:A.∵a·b=a·c,∴
77、a
78、
79、b
80、cosα=
81、a
82、
83、c
84、cosβ(其中α、β分别为a与b,a与c的夹角).∵
85、a
86、≠0,∴
87、b
88、cosα=
89、c
90、cosβ.∵cosα与cosβ不一定相等,∴
91、b
92、与
93、c
94、不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴A不正确.B.若a·b=a·c,则
95、a
96、
97、b
98、cosα=
99、a
100、
101、c
102、cosβ(α、
103、β分别为a与b,a与c的夹角).∴
104、a
105、(
106、b
107、cosα-
108、c
109、cosβ)=0.∴
110、a
111、=0或
112、b
113、cosα=
114、c
115、cosβ.当b≠c时,
116、b
117、cosα与
118、c
119、cosβ可能不相等.∴B不正确.C.∵(a·b)c=(
120、a
121、
122、b
123、cosα)c,a(b·c)=a(
124、b
125、
126、c
127、cosθ)(其中α、θ分别为a与b,b与c的夹角).∴(a·b)c是与c共线的向量,a(b·c)是与a共线的向量.∴C不正确,D正确.答案:D3.(教材P1612题改编)下列四个等式:①0·a=0;②0·a=0;③0-;④
128、a·b
129、=
130、a
131、·
132、b
133、其中正确的个数有
134、()A.4B.3C.2D.1解析:以上四个等式只有③是正确的.故选D.答案:D4.(2009·北京海淀一模)若向量a=(1,2),b=(1,-3),则向量a与b的夹角等于()A.45°B.60°C.120°D.135°且θ∈[0°,180°],所以θ=135°.