2011走向高考数学9(a)-6

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1、●基础知识一、棱柱的概念与性质(1)棱柱的概念如果一个多面体有两个面，而其余各面都是形，并且每相邻两个的公共边都，由此面围成的叫做棱柱．侧棱底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱底面的棱柱叫做直棱柱；底面是的直棱柱叫做正棱柱．互相平行四边四边形互相几何体垂直于不垂直于正多边形平行(2)棱柱的性质①所有的侧棱都相等，各个侧面都是；②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的；③过不相邻的两条侧棱的截面都是．(3)棱柱的侧面积和体积公式①直棱柱的侧面积和体积公式如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝.如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那么

2、它的体积是V直棱柱＝.平行四边形全等多边形平行四边形chSh②斜棱柱的侧面积和体积公式如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为c，侧棱长为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧＝.如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为l，那么它的体积是V斜棱柱＝.clSl二、长方体(1)几个概念：底面是叫做平行六面体．叫做直平行六面体，叫做长方体．叫做正方体．(2)长方体的对角线的性质：长方体的一条对角线长的平方等于．平行四边形的四棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体一个顶点上三条棱长的平方和温馨提示：(1)

3、正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，因此正四棱柱一定是长方体，长方体不一定是正四棱柱．三、棱锥的概念和性质(1)棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．(2)性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，并且它们面积的比等于．有一个公共顶点截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比归纳拓展：(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧棱与底面成等角，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心；(2)如果棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的内心；(3)如果三棱锥的三条侧棱两

4、两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．四、正棱锥的概念与性质(1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是，并且顶点在底面的射影是，这样的棱锥叫做正棱锥．(2)正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱，各侧面都是，各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个．正多边形底面的中心相等全等的等腰三角形直角三角形直角三角形五、棱锥的面积与体积(1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和，即S全＝．若c为正棱锥的底面周长，h′为斜高，则S侧＝

5、ch′.(2)棱锥的体积等于它的底面积(S)与高(h)的乘积的三分之一，即V棱锥＝Sh.S底＋S侧●易错知识一、概念理解错误1．下面是关于正三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．解题思路：①顶点在底面内的射影是内心，又底面是正三角形，故为中心，∴①正确

6、；②如图(1)中，AC＝BC＝CD＝BD＝AD≠AB，每个侧面都是等腰三角形，但此棱锥不是正三棱锥，∴②错误；③如图(2)，以正六边形ABDEFG的一边AB为边，作正△ABC，正六边形的中心O为三棱锥S－ABC的顶点S的射影．满足条件：三棱锥的侧面积全相等，但不是正三棱锥，∴③错误；④由已知，顶点在底面内的射影是底面三角形的内心，也是外心，故底面三角形为正三角形，又可推导出各侧棱、斜高彼此相等，故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形，故棱锥为正三棱锥，∴④正确．综上所述①④正确．失分警示：误区1：判断①是错误的，原因是把多面体的底面理解为其底面所在的平

7、面，如图(2)，二面角S－AC－O、S－BC－O、S－AB－O都相等，但不是正棱锥．注意，侧面SAB与底面ABC所成的二面角是S－AB－C，不是S－AB－O.误区2：判断②或③是正确的，直观认为正三棱锥满足②、③的条件，而又举不出反例，就认为正确．误区3：判断④错误，原因是由三角形的内心、外心重合而推导不出三角形为正三角形，或者对正三棱锥的概念理解不透，底面是正三角形，顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心两个条件吃不准，而妄加判断．启示：对棱柱、棱锥、正棱柱、正棱锥的有关概念，相应性质要深刻理解，把握准确，特别是正棱柱、正棱锥条件要求很高，不可缺

8、少．答案：①④二、公式应用错误3．如图，设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且P