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1、《经济数学基础》积分部分综合练习及解答三、积分学部分综合练习及解答（一）单项选择题1.下列函数中，（）是XCOSA：2的原函数.1oA.—sin2答案：A2・B.2sinx2C.-2sinJD.—sinx22下列等式不成立的是（).A.A.xdx=d—xB・丄dr^-d-4XJCC.cosxdx=dsinxD.—dY=d—x2答案:Cx则fM=().A.lnllnxlnxB.——xC-1-lnxD.In2x答案：C1J/（x）eAdx1A.-x答案：C5.下列定积分中积分值为0的是（4.若B
2、.——xC.).)•A.•iex-D.f(x?+cosx)dx答案：AC.D.3oCr+sinx)dr).A・eB.-1c.—2eD.+oo答案：B(二)填空题1.若］/Xx)dr=(兀+1)2+c,则/(x)=填写：2(兀+1)2.若p(x)dA=F(x)+c，则je-A/(e-A)dx=_填写：-F(ef)+c3.[(x2siiir_2)dr=.填写:-44.£e2v(ir・・填写：—25.微分方程y'=e-v+2的通解是填写：),=—「"+2兀+c（三）计算题l・泮皿+很庁应JXrzsinln
3、x41sinlnxd(lar)+yx44--coslnx+—x4+c7dx22.j(x+l)lrLrdx=—(x+l)2lnx=—(x2+2x)lar——x+c24(1+J)21+e7存解d加诃沖5=『xdx-JoJo尢2+11)'=丄(25Tn26)()21251[/2=—x~——ln(%~+2o25.求微分方程y'+y=x2+1满足初始条件y(l)=3的特解.解因为p(x)=1,Q(x)=x2+l用公式y=e[
4、(x24-l)e^ir+c]=e'[j(x2+l)e'dr+c]=e~A(x2eA
5、-2JxevdA+ev+c)=e_x(A-2eA-2xeA+2jevd¥+eA+c)=e-A(x2eA-2xeA+2ev+ex+c)=x~-2x4-3+cex由y(l)=r—2+3+比一
6、=3,得c=e所以，特解为y=x2-2x+492.求微分方程xy'+y=xsinx满足y=1的特解.解：因为P(x)=-,ew=sinx,由通解公式得兀+c)=e-,nA(jsinxe,nxdx+c)=—(fxsinxdx+c)=—(-xcosx4-sinx+c)XJX由)'(兀)=丄(一/rcos;r+sin7r
7、+c)=l,得c=071所以，特解为y=-COSX+—sinx3.求微分方程yftanx=yy的通解•解将原方程分离变量———=cotxdxylny两端积分得lnlny=InCsinx通解为)・=/畑8.求微分方程W—3于)，一巴了2=0的通解.解首先将方程等号左边的第2,3项移到等号右边，并进行变量分离两边积分得--ln(l+-)=ex+q3.V通解为Iny-ln(y+3)=3ev+c(四)应用题1.设生产某产品的总成木函数为C(x)=3+无(刀元)，其中X为产量，单位：百吨•销售兀百吨时的边
8、际收入为Rr(x)=15-2x(万元/百吨),求:(1)利润最大时的产量；(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？(较难)(熟练掌握)解(1)因为边际成本为Cx)=1边际利润Lx)=R3—C3=14-2x令£/(兀)=0,得x=7由该题实际意义可知，x=7为利润函数厶(劝的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.(2)当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为fSa8AL=I(14-2x)cLr=(14x-x2)J77=112-64-98+49=-1(力
9、•元)即利润将减少1万元.2.设某种产品的固定成木为980()元，边际成木为C'⑷二q+36,其屮q为产量.求使平均成木最低的产最.解：因为，成本函数C(q)=J(q+36)dq=0.5q，+36x+c由C(0)=0.5x02+36x0+c=9800,Wc=9800即C(q)=().5/+36q+9800又平均成木为X(q)二二()・5q+36+燮巴qqC'(q)二(0.5q+36+令C'(q)二0,即0.5_翌^二0,得4二140,q,二-140(舍去),q~如二140是C(q)在其定义域内的唯一
10、驻点,H该问题确实有使平均成木函数最低的点.所以G=140是平均成木函数Qq)的最小值点，即为使平均成木最低的产量为140个单位.
