线性代数课件河北理工学院第四章特征值与特征向量 第2节.ppt

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1、特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法第二节方阵的特征值与特征向量设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x使关系式成立则称数为方阵A的特征值。的特征向量。一、方阵的特征值与特征向量定义6.1特征向量非零。注意：x称为方阵A的对应于特征值非零列向量如对及则数是方阵A特征值,是方阵A的对应于特征值2的特征向量有这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，即(3)二、特征方程与特征根它有非零解的充分必要条件是其系数行列式此式也可改写成因为显然，A的特征值就是其特征方程的根,也称特征根。特征方程在复数范围内恒

2、有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A有n个特征值。注意：三、特征向量的性质求方阵A的特征值和特征向量的步骤：（1）求出特征方程的所有解，它们就是A的全部特征值（2）分别把A的每个特征值代入方程组得到分别求出它们的基础解系：则所有向量的非零线性组合就是A的属于的全部特征向量例4求A=的特征值与特征向量解（1）求特征值由则A的特征值和（2）求特征向量对于即：也即所以对应的特征向量可取为：因此属于特征值3的全部特征向量为对于即也即所以对应的特征向量可取为：其中k取遍所有非零数.因此属于的全部特征向量是例5求

3、A的特征向量解求特征值求特征向量对于,A的特征值（二重）和即：由于系数矩阵的秩为2，故基础解系只有一个因此属于的全部特征向量是非零解，解得对于同上方法解得其中k取遍所有非零数因此属于的全部特征向量是例6求的特征值和特征向量解求特征值所以A的特征值为（二重）求特征向量将代入得解得基础解系：再将代入得因此，属于的全部特征向量就是取遍所有非零数。其中解得基础解系：(k取遍所有非零数)因此，属于的全部特征向量就是定理2属于不同特征值的特征向量一定线性无关。证设矩阵A的特征值为依次是与之对应的特征向量，下面证明它们各不相同,线性无关设

4、有常数使四、有关特征值的结论则即类推之：（k=0,1,2,…,m-1）有把上列各式合写成矩阵形式，得上式左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，各不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆。于是有所以向量组即（j=1,2,…,m）但故线性无关。是方阵A的特征值，故有向量于是：的特征值。则为方阵A的特征值，的特征值。例7设类似：若是A的特征值，的特征值；则的特征值；其中小结解得特征值解得对应于特征值的特征向量相关结论：特征值与特征向量的求法１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属

5、于这个特征值的特征向量．３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．练习证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则思考题