应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 1.2 极限的概念.ppt

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1、1.2极限的概念一、数列的极限二、函数的极限三、无穷小量与无穷大量一、数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”①刘徽割圆术：——刘徽1、概念的引入正十二边形的面积正六边形的面积正边形的面积(圆面积)②、截丈问题：公元前300年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《天下篇》中写道：一尺之棰，日取其半，万世不竭。意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完！2、定义记作：说明：①数列极限只对无穷数列而言，极限具有唯一性；③如果数列没有极限,就说数列是发散的.②数列极限是个动态概念，是变量无限运动渐进变化的过程

2、，是一个变量（项数）无限运动的同时另一个变量（对应的通项）无限接近于某个确定的常数的过程，这个常数（极限）是这个无限运动变化的最终趋势．例1观察下列数列的变化趋势，并写出它们的极限．4321例1观察下列数列的变化趋势，并写出它们的极限．所以：几个常用数列的极限：二、函数的极限1、自变量趋于无穷大时函数的极限有下面三种方式：[包括两种情况]：定义：设函数在时有定义（a为某个正实数），如果当的绝对值无限增大时，无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为当时函数的极限．0102、数列极限与函数极限的关系因为数列极限可以表示成函数形式也就是说，数列极限是一种特殊的函

3、数极限．观察当时，函数的变化趋势：-1112o3、自变量趋于有限值时函数的极限记为：注意：①定义中并不要求函数在点处有定义；②表示从的左、右两旁同时无限趋近于．定义：设函数在的左右近旁（点本身可以除外）有定义，如果当无限趋近于时，无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为当时函数的极限．3、自变量趋于有限值时函数的极限观察当时，函数的变化趋势：-1112o[单侧极限]左极限：右极限：例3讨论下列函数当时的极限：1O例4判断是否存在.解当时，而当时，因此当时，同理当时，所以不存在.例5试求函数在和处的极限.解三、无穷小与无穷大1、无穷小量在自变量的某一变化过程

4、中，若函数的极限为零，则称此函数为在自变量的这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小．注意:（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一实数；（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势．例如,2、无穷小的运算性质：①有界函数与无穷小的乘积为无穷小；解：2、无穷小的运算性质：①有界函数与无穷小的乘积为无穷小；②有限个无穷小的代数和为无穷小；③有限个无穷小的乘积为无穷小．3、无穷大量在自变量的某一变化过程中，若函数的绝对值无限增大，而且可以任意地大，则称此函数为在自变量的这一变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作：①上述记号只是为了方便起见，并

5、不表明极限存在；注意：②无穷大也是变量,不能与很大的数混淆;③无穷大也必须指明自变量的变化趋势．例如：4、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，无穷小与无穷大互为倒数关系．例如，例7求.解四、小结（本节要点）1.数列极限的概念；2.常用数列的极限；3.函数极限的概念（分情况讨论）★；4.无穷小与无穷大.五、练习与作业（1）课堂练习：练习题1.2（2）课外作业：练习册第一章练习一