一道高考概率题的思考历程.pdf

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1、第8期崔志荣：一道高考概率题的思考历程·29·一道高考概率题的思考历程●崔志荣(安丰中学江苏东台224221)2014年江西省数学高考理科第21题如下：题目随机将1，2，⋯，2n(其中17,∈N，n≥2)这2n个正整数分成A组和组，每组个数，A组最大数为a，最小数为a；B组最大数为b，最小数为b：，记=a。一a：，=b一b：．(1)当n=3时，求亭的分布列和数学期望；(2)令c表示事件与叼的取值恰好相等，求事件c发生的概率P(c)；(3)对第(2)小题中的事件c，c表示c的对立事件，判断P(C)和P(C)

2、的大小关系，并说明理由．这道题既考查概率的基本知识、基本方法，同时又着重考查学生的理解能力、分析能力、数学思维能力，是一道有区分度、有选拔功能的压轴题．笔者在求解这道题、探究它的本质时，经历了一系列的思维过程，现整理成文，与同行们交流，以期抛砖引玉．1特殊化思考第(1)小题比较简单，本文不作研究．在第(2)小题中，事件c发生的概率P(C)是关于／1,的数列，为体现概率的数列特征，把事件C发生的概率P(C)依次记为P，P，⋯，P(其中n≥2)，容易求得P：2．(其中n，乙2也即第(2)小题的结论．对于第(3

3、)小题，如何比较P(C)和P(C)的大小呢?初读该题，笔者还不能立即得到处理方法，为此，采用了“以退为进”的解题策略——特殊化思考，试图以此发现结论与解题方法．首先依次求出2·寺2·寺2·=．据此，笔者猜想：P单调递减，且只有P：>1；当n≥3时，P<÷．于是发现了第(3)小题的结论，当n=2时，P(C)>P(C)；当≥3时，P(C)

4、归纳法证明此不等式，难度不大，本文不再赘述，读者可自行完成．及数形结合思想等)．虽说高考是一种选拔性考那些“不变”的东西，往往就能收到“解一题，通一试，其试题具有一定的难易梯度，但大多数试题考类”之效果，解救学生于题海中．查的还是“双基”，有些试题直接来源于教材中的(3)继续注重数学应用意识的培养，加强建某些例、习题，或由它们经过“加工演变”而成．因模、化归、解模等基本功的日常教学．此，在平时的解题教学过程中，教师如果能够从一依据现实的生活情境，提炼相关的数量关系建些典型的例、习题或最本源的数学基本概念、

5、基本立起相应的数学模型，将现实问题化归为数学问题图形、基本原理出发，采用“变式”教学，让学生在再加以解决，是解应用题中的重要环节，需要教师教师有序并系统的变化中抓住题目“演变”过程中平时加以注重，有意识地渗透于日常教学中．·3O·中学教研(数学)2o14卑3单调性思考至此，已完成了这道压轴题的解答，但在上述的特殊化过程中，我们还得出了P单调递减，能否证明呢?笔者运用了分析法以简化运算．要证：P单调递减，即证：当n≥2时，P≥P川，亦即证：1+l+C+c；+⋯+C⋯n-241+1+C+C+⋯+C。n一-24

6、+c2n-一12————～————■——一车c?2(1+1+C+c：+⋯+c4)>c(1+1+C+C+⋯+C~27+)+C⋯n-一12．因为cz==堕c=，同理可得c=删原问题即证：(1+1+c+c2+．．．+cn-2)>C⋯n一-1?l-2>n-I甘l+1+c++．．～C．⋯接下来再用数学归纳法证明此结论．证明当=2时，结论显然成立．假设当凡=．j}时，结论成立，即l+l+c+c2+．．．+c>c：，则当／2,=Ij}．4-1时．1+1+c+c2+．-．+c+c>c+c=c4k这就需要证明3k+十21C

7、t"~2[k1-2／>3k+4u后，’即证4k+21ckH-I>而k+2·c，3后+亦即证—署>·坐(运算过程略)，于是得到1+1’+c+c：+⋯+k-一I>c也成立．因此，对任意n≥2，不等式1+1+c++⋯+cn-一2>c：都成立．综上所述，当n≥2时，P>P+，即P单调递减．4下界思考概率P单调递减已确定，从而得到P的最大值为P=了2．现在的问题是：能不能找到P的一个下界呢?已经得到c=c：，即C2nl：=n乙：，从而c：rt-1：>一}c，由此可得cn-2>砉c～n-341⋯C．，c：n-4>c一

8、，c六c．又由2．：+2．生壁，得L2nL2nL22·业≮盟(六+击+1+．．，+砉)c即2(击+击+1‘+嘉)，第8期崔志荣：一道高考概率题的思考历程·31·从而⋯limP．>2iim(~+击+击‘+)_2．因此，言是P~-"C'Tg~，故言