高三数学一轮复习专辑 4.6正弦定理和余弦定理课件.ppt

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1、§4.6正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理:,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,以解决不同的三角形问题.2RsinC2RsinA2RsinB基础知识自主学习2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA,cosB=,cosC=.3.·r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R、r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及

2、任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解基础自测1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120°,则a等于（）A.B.2C.D.解析D2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列

3、，且c=2a,则cosB等于()A.B.C.D.解析由已知得b2=ac,c=2a,B3.在△ABC中，A=60°,a=4,b=4,则B等于（）A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析由正弦定理得又∵a>b,A=60°,∴B=45°.C4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A.B.C.D.解析C5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B=45°，b=，a=1，则∠C=.解析∵a

4、105°.105°题型一正弦定理的应用(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A、C和边c；（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b和c；（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求∠A及的值.已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断.题型分类深度剖析解∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°

5、.(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.（3）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又∵a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.知能迁移1在△ABC中，若b=,c=1,B=45°,求a及C的值.解由正弦定理得因为c

6、a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.由利用余弦定理转化为边的关系求解.解（1）由余弦定理知：(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.知能迁移2已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos

7、C.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,题型三三角形形状的判定在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴s

8、inAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2π得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三