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1、第一节直线与方程基础梳理1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.②倾斜角的范围为.③直线的倾斜角概念要抓住3个要点：找交点，逆时针，最小正角.逆时针最小正角0°0°≤α<180°(2)直线的斜率已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为.当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足.2.直线方程的五种形式k=tanα名称方程适用范围点斜式不含直线x=x1斜截式不含垂直于x
2、轴的直线两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的任意一条直线都适用y-y1=k(x-x1)y=kx+bAx+By+C=0(A2+B2≠0)典例分析题型一直线的倾斜角和斜率【例1】直线xcosα++2=0的倾斜角的取值范围是.分析先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.解因为直线xcosα++2=0,所以直线的斜率为k=.设直线的倾斜角为β,则tanβ=.又因为,即,所以.学后反思求倾斜角范围的步骤是：（1）求出斜率的取值范围.（2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值范围举一反三1.直线xcos
3、θ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是.解析:设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.∵θ∈R,-1≤-cosθ≤1,∴-1≤tanα≤1,∴α∈.答案:题型二求直线的方程【例2】求下列直线l的方程.（1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是;(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的倾斜角的一半分析由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.解（1）设直线l的倾斜角为α,则sinα=,∴tanα=±,∴l的方程为y=±x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.(2)设直线l和l1的倾斜角分别为α、β，则有α=,又tanβ=-,∴tanβ
4、=tan2α==-,解得tanα=3或tanα=.∵＜β＜π,∴＜α=＜,∴tanα＞0.∴tanα=舍去，∴tanα=3.由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.举一反三2.直线l经过点P(-2,1),且点A(-1,-2)到l的距离等于1,求直线l的方程.解析：(1)当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的点斜式方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.由题意，得解得即所求直线l的方程是4x+3y+5=0.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=-2,满足题意.综上，所求直线l的方程是4x+3y+5=0或x=-2.题型三与直线方程有关的最值问题【
5、例3】直线l过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当△AOB面积最小时，求直线l的方程.分析先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程.解方法一:如图所示，直线l如果通过一、二、三或一、三、四象限时，△AOB面积不存在最小值.因此只考虑直线l与x,y轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值.设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0),则有A(2-1k,0)与B(0,1-2k)(k<0).所以S(k)=(1-2k)(2-)=[4+(-4k)+]≥(4+4)=4,当且仅当-4k=,即k=-时，等号成立.故直线l的方程为y-1=-(x-2),
6、即x+2y-4=0.方法二：设过P（2，1）的直线为(a＞0,b＞0),则,由基本不等式得,故ab≥8,S△OAB=ab≥4,当且仅当,即a=4,b=2时，等号成立，故直线方程为,即x+2y-4=0.学后反思(1)对直线l的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范围，指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能.（2）本题将面积表示为k的函数，再用基本不等式求最小值，方程选择不同，自然参数不同，但是求最值的方法首先考虑基本不等式，然后是函数单调性、换元等方法.举一反三3.已知实数x,y满足(-1≤x≤1).试求:的最大值与最小值.解析：如图，由的几何意义可知，它表示定点P(-2,-3)与
7、曲线段AB上任一点(x,y)连线的斜率k,由图可知：由已知可得:A(1,1),B(-1,5),∴即的最大值为8，最小值为题型四应用问题【例4】(14分)为了绿化城市，拟在区域ABCD内建一个草坪（如图）.另外△EFA内部有一文物保护区不能占用.经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大？分析欲使草坪面积最大，点P的位置选取是关键，因此，应考虑建立适当的坐标系，
