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1、第六节椭圆基础梳理1.椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:①到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a;②2aF1F2.(2)上述椭圆的焦点是，椭圆的焦距是F1F2.2.椭圆的标准方程和几何性质＞F1、F2标准方程图形性质范围≤x≤a≤y≤b≤x≤b≤y≤a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1,A2B1,B2A1,A2B1,B2轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为.焦距F1F2=离心率e=∈a,b,c的关系c2=-a-a-b-b(-a,0)(0,-b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0)2a2b
2、2c(0,1)a2-b2典例分析题型一椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.解方法一：设椭圆的标准方程或,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2=,∴a=.在方程中,令x=±c,得｜y｜=；在方程中,令y=±c,得｜x｜=.依题意知=,∴b2=.即椭圆的方程为方法二：设椭圆的两个焦
3、点分别为F1、F2,则PF1=,PF2=.由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2=,即a=.由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴.故在Rt△PF2F1中，4c2=PF12-PF22=,∴c2=53，于是b2=a2-c2=.又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思(1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为.举一反三1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点
4、P(3,2),求椭圆的方程.解析:（1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为(a＞b＞0),则解得此时所求的椭圆方程为(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为(a＞b＞0)，则解得此时所求的椭圆方程为综上，所求的椭圆方程为或题型二椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆(a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若(0＜θ＜π)，求证:△F1PF2的面积为(2)若存在点P,使，求椭圆离心率的取值范围.分析（1）为焦点三角形，设,,则m+n=2a,而只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.解(1
5、)证明：如图所示，设,,的面积为S，则.①在中，∵m+n=2a,1+cosθ≠0,∴.②由①、②得(2)当时，由(1)得又(当且仅当m=n时取等号),∴∴∴e≥,∴e的取值范围为[,1).学后反思本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三2.(2009·北京)椭圆的焦点为,,点P在椭圆上，若
6、P
7、=4,求
8、P
9、及的大小.解析:∵,,∴∴,又
10、P
11、=4,且
12、P
13、+
14、P
15、=2a=6,∴
16、P
17、=2,又由余弦定理，得∴题型三直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知
18、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析(1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解（1）据题意设椭圆的标准方程为,由已知得a+c=3,a-c=1,………………………
19、……………….2′∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆的标准方程为x24+y23=1.…………………………….4′(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m，x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0,…………………………….6′则由题意得Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=………………………………………………………………8′∵以AB为直径的
20、圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴kAD·kBD=-1,即,∴y1y2+x1x2-
