偏导与积分复习.ppt

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1、1.极限证明极限不存在的方法：路径法求极限的方法（坐标变换法）2.连续上页下页返回有3.偏导数第八章多元函数微分法7/24/20211连续性偏导数存在方向导数存在(以后讲)可微性偏导数连续5.微分4.偏导数计算：复合函数求偏导，隐函数求偏导，及其高阶导数7/24/20212例1.讨论二重极限解法1解法2令解法3令时,下列算法是否正确?上页下页返回7/24/20213分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,上页下页返回7/24/20214解法3令此法忽略了的任意性,极限不存在!由以上

2、分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.上页下页返回7/24/20215证:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.例2.证明:上页下页返回7/24/20216而所以f在点(0,0)不可微!而当上页下页返回7/24/20217(有二阶连续偏导数),求例3设解上页下页返回7/24/20218上页下页返回7/24/20219上页下页返回例47/24/202110有连续的一阶偏导数,及分别由下两

3、式确定求又函数答案:(2001考研）例5.设上页下页返回7/24/202111设则两边对x求偏导上页下页返回例6.设7/24/202112例7.设其中f与F分别具解；方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求(99考研)上页下页返回(用隐函数求导公式)7/24/202113例8.设有二阶连续偏导数,且求解:上页下页返回7/24/2021146.几何应用（1）空间曲线切线及法平面上页下页返回切向量（2）曲面的切平面与法线7/24/2021157.方向导数与梯度（1）定义上页下页返回（2）公式（3）梯度7/24/2021168.极值（1）无条件极值第一步利用必要条件在定义域内找驻点.

4、即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.（2）条件极值(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法上页下页返回7/24/202117设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)9.最值在条件求驻点.上页下页返回7/24/202118例9.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)目录上页下页返回结束7/24/202119指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A例10.函数提示:则(96考研)目

5、录上页下页返回结束7/24/202120例11曲面在任一点处的切平面().,则故切平面的法向量为A.垂直于一定直线;B.平行于一定平面;C.与一坐标平面成定角;D.平行于一定直线.所以,应选D.解：设又故切平面平行于以为方向向量的直线.7/24/202121例12.求曲线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即解:由于对应的切向量为在,故上页下页返回时,x(0)=0,y(0)=1,z(0)=2.又7/24/202122例13.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶

6、偏导数目录上页下页返回结束7/24/202123在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;目录上页下页返回结束7/24/202124例14.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面上页下页返回7/24/202125令解此方程组得唯一驻点：由实际意义最小值存在,故上页下页返回7/24/202126第九章重积分1.二重积分直角坐标系情形:若积分区域为X型则若积分区域为Y型则目录上页下页返回7/24/202127则极坐标系情形:若积分区域为目录上页下页返回对称性是关则对称

7、性：若区域D关于y轴对称,奇函数,那么是关于x的于x的偶函数，若关于y轴对称，与7/24/202128例1.求其中D是由直线和y轴所围成的闭区域。xyO解：目录上页下页返回7/24/202129其中所以例2把积分表为极坐标形式的二次积分解在极坐标下积分区域可表示为DD1D2D3其中积分区域D{(xy)

8、x2y11x1}目录上页下页返回7/24/202130例3.计算二重积分其中:D为圆域解:利用对称性.目录上页下页返回7/24/202131其中解：由