偏导与微分总复习

《偏导与微分总复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1．极限与连续2．偏导与微分3．多元微分学的应用第九章要点1．极限与连续2)证明极限不存在：用两种不同的趋近方式得到两个不3)连续与间断4)有界闭区域上连续函数的性质同的极限，则函数在该点的极限不存在1)求极限2．偏导与微分2)高阶偏导1)偏导的定义的二阶偏导3)复合函数的偏导⑴全导数设函数，，为可微函数，则⑵复合求导设函数，，为可微函数，则4)方向导数与梯度二元函数的方向导数三元函数的方向导数其中或为单位向量．梯度注：梯度方向为方向导数取最大值的方向．或者(1)微分的定义5)全微分全微分并且(2)可微的条件：有连续偏导，则可微，偏导连续可微连续可偏导(3)关系

2、两边对x求导在的某邻域内则6)隐函数、隐函数组求导若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的两边对x求偏导同样可得则有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内解的公式故得系数行列式1)近似计算2)几何应用3．多元微分学的应用几何应用曲线↔切线(法平面)曲面↔切平面(法线)曲线：参数方程情形切线：法平面：一般方程情形切线：法平面：则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：一般方程若，曲面：面上，则相应的切平面：法线：曲面方程：，点在该曲3)极值问题必要性：可导的极值点是驻点．充分性：则时，极小值；时，极大值；时不能确定；时非极

3、值．(1)无条件极值(2)条件极值方法：最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值．构造Lagrange函数单条件极值求函数在条件下的条件极值．解方程组方法：解方程组构造Lagrange函数两条件极值求函数在条件，下的条件极值．最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值．例1求极限．解令　，则所以不存在．解例2设，求　　．解例3设，其中有连续偏导，求．例4设由确定，求．解令，则因此解由复合函数的导数公式，得例5设，，，求．在方程组两端对求导，得上式中的第一式乘，第二式乘，两式相减，得上式中的第一式乘，第二式乘，两式相加，得同理可得因此例6设是曲面在点向导数．解令　　　　

4、　　　，则处的外法向量，求在点处沿的方取外法线方向，故．又，，所以，故例7求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面P131题17令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故