基于多尺度小波变换的变步长LMS滤波算法.pdf

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2012年第3期工业仪表与自动化装置·5·基于多尺度小波变换的变步长LMS滤波算法缑新科，王娜娜(兰州理工大学电气工程与信息工程学院，兰州730050)摘要：对LMS自适应算法、基于抽样函数的变步长LMS算法和基于多尺度小波变换的自适应滤波算法进行了研究，在此基础上把变步长LMS算法与多尺度小波变换相结合，产生了新算法。该算法一方面可以克服固定步长LMS算法在收敛速度与收敛精度方面与步长因子的矛盾；另一方面，小波变换的引入减少了输入向量自相关矩阵的条件数，提高了收敛速度、跟踪性能和稳定性。最后对算法的性能进行了计算机仿真比较，仿真结果表明：基于多尺度小波变换的变步长LMS滤波算法具有较快的收敛速度和更强的抑噪能力。关键词：自适应滤波；LMS算法；变步长；小波变换；Matlab仿真中图分类号：0231文献标志码：A文章编号：1000—0682(2012)03—0005—05AnadaptiveLMSalgorithmwithvariablestepbasedonmulti-scalewavelettransformGOUXinke，WANGNana(CollegeofElectricalandInformationEngineering，LanzhouUniversityofTechnology，Lanzhou730050，China)Abstract：ThepaperrepresentsanewalgorithmfromthemergenceofthevariablestepsizeLMSalgorithmandthemulti—scalewavelettransformonthebasisofstudiesofLMSalgorithm，variablestepsizeLMSalgorithmbasedonsamplefunction，andLMSadaptivefilteringalgorithmbasedonmulti-scalewavelettransform．Ononehand，thisnewalgorithmcanovercomethecontradictionbetweenthefixedstepsizeLMSalgorithm’Sspeedandaccuracyofconvergenceanditsstepfactors．Ontheotherhand，theintroductionofwaveletreducetheconditionsofauto—correlationmatrixoftheinputvector，andimprovethespeed，trackingperformanceandstabilityofcontradication．Finally，thealgorithmiscomparedbycomputersimulation，thesimulationresultsshowthataadaptiveLMSalgorithmwithvariablestepbasedonmulti·scalewavelettransformhasfasterconvergencespeed，betterperformance，andstrongerrobustnessagainstnoiseanddisturbance．Keywords：adaptivefiltering；LMSalgorithm；variablestepsize；multi—scalewavelettransform；Mat1ahsiml11ation态失调之间的要求上存在着比较大的矛盾。为了克0引言服这一矛盾，提出了许多改进型LMS算法。变步长1967年Windrow等人提出了自适应LMS滤波LMS算法因其可以克服收敛速度和稳态误差算法，自适应滤波系统的参数能自动的调整而达到这一固有矛盾，所以一直是时域LMS算法研究的热最优状况，而且在设计时，只需要很少的或根本不需点之一，通过对变步长LMS算法的分析，建立了步要任何关于信号与噪声的先验统计知识。自适应滤长因子与误差信号e之间的非线性函数关系，得波器的冲激响应或滤波参数是随外部环境的变化而到了基于抽样函数的变步长LMS算法。该算法在变化的，经过一段自动调节的收敛时间达到最佳滤保证较好的收敛精度下提高了收敛速度和跟踪速波的要求。经典LMS算法易于实现，性能稳定，度，更大程度上解决了收敛速度和稳态误差的内在应用广泛，但在收敛速度、时变系统的跟踪能力和稳矛盾。但是，这种变步长LMS算法的收敛速度对输入信号的自相关矩阵的特征值分布敏感。分布越收稿日期：2011—12—05散，即输入信号自相关矩阵的条件数越大时，该算法作者简介：缑新科(1967)，男，工学硕士，教授，硕士研究生导师，研究方向为数字信号处理。的收敛速度越慢，从而影响其跟踪性能。为了克服 ·6·1二业仪表与自动化装置2012年第3期这一缺点，又采用了变换域自适应滤波算法“。由式(4)可得，当E[n。(n)一n(凡)]最小时，由于小波变换具有较好的去相关能力，因此将小波E[e(n)一s(n)]也最小，在理想的情况下，n。(n)=变换引入自适应滤波算法中，充分利用小波分解系，(几)，贝0S(n)=e(F／,)，这时：数的抽取特性，把输入信号分解于多尺度空间，减小I参考信号n(n)通过自适应滤波器后变成了自适应滤波器输入向量自相关阵的谱动态范围，了n0(n)；从而提高了LMS算法的收敛速度和稳定性。结合Ⅱ原始信号输入s(n)+n。(n)减去凡。(n)最这两种算法，提出了多尺度小波变换的变步长LMS后的输出就只保留了有用信号S(凡)。白适应滤波算法，从而改善了经典LMS算法的性2自适应滤波器能。因此，在理论上及工程实践上都具有很重要的指导意义和应用价值。2．1自适应滤波器结构自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过1自适应干扰对消原理调整滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波自适应噪声抵消系统框图如图1所示。器由两部分组成，一是滤波器结构，二是调整滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的结构采用FIR信号源或IIR结构均可，由于IIR滤波器存在稳定性问题，因此一般采用FIR滤波器作为自适应滤波器的一般噪声溺结构。图2为自适应横向滤波器的结构示意图。1自适应噪声抵消系统框图1．1抵消步骤传感器接收：I原始信号d(n)=S(n)+Ft,(／／,)式中：(n)为噪声信号，也为待消除的信号，与信号S(／7,)不相关。图2自适应横向滤波器的结构不葸图Ⅱ参考输入U()=n(n)注：①z为单位延迟单元；②每个抽头输入分式中：n(n)为噪声信号，n(17,)与噪声信号n。(n)相另0为U(n)，(n一1)，⋯，U(n—m+1)；U(n一)关，与信号s(／7,)不相关。(=0，1，⋯，m一1)为输入信号；③各抽头权值为。，对凡(n)进行自适应滤波，得到输出信号Y(凡)，W一，W一。；(=0，1，⋯，m一1)为一组权系数。使输出信号Y(n)与噪声信号(n)相匹配，系统的输系统的输出e(凡)=()一Y(n)(5)出误差e(n)即是对有用信号s()的最佳估计。式中：e(n)为估计误差1．2抵消计算m一1e(n)=d(凡)一Y(n)=s(n)+n0(n)一n1(凡)y(n)=∑w(凡)H(一)=T(n)’．，(n)==0(1)w(n)()(6)对式(1)两边取平方：将式(6)带人式(5)，两边平方再取期望得：e(n)=s。(凡)+[凡o(凡)一nl(n)]+横向滤波器的均方误差(性能函数)2s(n)[n。(几)一n(n)](2)J=E[e(n)]=+(n)Rw(几)一2w(n)P取期望，假定S(n)与凡。(n)，n(n)不相关，且(7)都是统计平稳信号：输入信号的自相关函数E[e(n)]=E[s(n)]+E[(n)一n(n)]R=E[U(n)。(n)](8)(3)期望信号与输入信号的互相关函数因S(n)与滤波器的调节无关，如果调节自适应滤P=E[d(n)(n)](9)波器使E[e(n)]最小，也就是[(n)一n(n)]最使均方误差I，最小时，对应的权值为最优权值小。由式(1)得：。，所对的．，为最小均方误差t，，此时，梯度向量凡o(n)一n】(n)=e(n)一S(n)(4)．，等于零，即： 2012年第3期工业仪表与自动化装置·7·vJ=2Rw(n)一2p=0(10)将提高LMS算法的收敛速度和稳定性，而且采用则维纳一霍夫方程Mallat快速算法可使计算量小、速度快。Rwo=P(11)2．3．1Mallat分解算法将输出Y(n)与所希望的值d()比较看是否一样。如有误差e()，则用e()去控制(n)，使(n)为最优权值。因此它的关键在于怎样简便fa1地寻找W。，或者说用什么样的算法来求得W，最常用的算法就是LMS算法。品———兰．—⋯2．2LMS自适应算法．最小均方误差(LeastMeanSquare，LMS)算法是fb一种易于实现、性能稳健、应用广泛的算法。所有的图3Mallat分解算法滤波器系数调整算法都是设法使Y(n)接近d(n)，s。表示原始信号向量；，(=1，2，⋯，t，)是经过所不同的只是对于这种接近的评价标准不同。LMS分解后的逼近信号；(J=1，2，⋯，．，)是经过分解后算法的目标是通过调整系数，使输出误差序列e(n)=的细节信号。d()一Y(n)的均方值最小化，并且根据这个判据来利用Mallat算法，可以根据不同尺度把已知信修改权系数，该算法因此而得名。误差序列的均方号进行多级分解，从而把信号分割成细节信号和逼值又叫“均方误差”(MeanSquareError，MSE)。理近信号，即不同频带的部分。虽然信号总的频率成想信号d(n)与滤波器输出Y()之差e(n)的期望分没有发生变化，但是对于每一部分来说，其频率成值最小，并且根据这个判据来修改权系数()。分和原始信号相比变得简单多了。(n)==×+(m)=∑()h(一2m)(14)=一∞[d2(n)+w(n)(n)(n)(n)一Zt(n)u(n)(n)]=+。(m)=∑()g(一2m)(15)一2e(凡)U(n)(12)上两式中：S(m)经过冲击响应为h(m)的数字w(+1)=W()一／zV．，(n)=W(n)+滤波器后，再抽取偶数样本就得到s⋯(m)；S(m)2e()lf(凡)(13)经过冲击响应g(m)的数字滤波器后，再抽取偶数表1LMS算法流程样本就得到R(m)。其中g(m)=(一1)。。h(1LMS算法流程一m)，且h(m)=h(一m)。参数设置：M：滤波器的抽头数2．3．2多尺度小波变换固定步长LMS算法=收敛因子多尺度小波变换的LMS算法就是将(n)：已知数据：篓(n)=抽头输入向量[(n)，(一1)，⋯，(n—M+1)]变换到小波域进d(n)：期望响应行离散正交小波多尺度分解。由Mallat算法可知，对初始化：w(o)由先验知识确定，否则令w(o)=0于长度为的离散信号S。=[s。，s。：，⋯，s。r，总有迭代计算：对n=0，1，⋯，计算如图3b所示的分解。这种把S。分解为R。，R，⋯，Ry(n)=W(n)“(n)=w(n)U(n)和，的过程也称为多尺度有限正交小波分解，其中e(n)=d(n)一y(n)J=[ss⋯，s，一1]，=[rJo，一，r，，酊一1r，W(凡+1)=’．，(n)+2(n)lf(凡)和G，分别是由共轭正交镜像低通滤波器{}和高2．3基于多尺度小波变换的变步长LMS自适应通滤波器{g}构成的小波变换矩阵，则有：新算法s=一15，Rf=Gsf一1，(=1，2，⋯，_，)小波理论的出现为研究变换域的自适应算法提令：R=[R1，R2，⋯，，，S，]，供了一个有力的工具，用小波变换的方法对自适应P=[Co，G1％，⋯，一，⋯，，一，⋯，Hi]滤波器的输入进行正交变换，将输入向量X(n)正则：R=(其中P为小波变换正交矩阵)交分解到多尺度空间，利用小波的时频局部特性，减结合LMS算法流程可得基于多尺度正交小波小自适应滤波器输入向量自相关阵的谱动态范围，变换的自适应滤波算法如下： ·8·1二业仪表与自动化装置2012年第3期一R()P(凡)为X(n)经过延迟构成的输入向量】1y(凡)=VT(n)R(n(16)Xo=[(n)，(n一1)，⋯，(n—m+1)]；8(n)=d(n)一y(n)D为信号序列Xo经过多尺度(J尺度)小波分V(n+1)=V(凡)+2e(n)R(n)解后的第．级细节信号序列2．3．3变步长LMS算法=[，。，，，⋯，—删一]影响收敛速度的主要因素是滤波器输入信号的=．1，2，⋯，J；(，=2M)白相关矩阵的最大、最小特征值之比，它表征了自相，为信号序列经过多尺度(-，尺度)小波分解后关矩阵特征值的分散程度，分布越分散，收敛速度越的第‘，级逼近信号序列慢。由于小波变换具有较好的去相关能力，在LMSX，=[0，1，⋯2一一lJ；算法中引入了小波分析的方法，有效克服了这一缺伪第级细节信号序列对应的自适应滤波器点。因为经过小波变换后信号的自相关矩阵的条件的权向量数变小，即特征值分散程度减小了，所以算法的收敛=[Vj-0’Vj，一Vj，2一1]，=1，2，⋯，J；速度得到了提高。但是，它仍然克服不了收敛速度为信号序列进行．，次分解逼近信号对应和稳态误差这一对固有矛盾：在收敛的前提下，取的自适应滤波器的权向量得较大，这样收敛速度虽然得到了提高，但稳态误差U=[Uo，“l，⋯u2一一1]；却增大了，精度下降，反之稳态误差降低但收敛速度F为表示第．个自适应滤波器在n时刻的输就会变慢。为解决这一矛盾，采用变步长的收敛因出。子：算法开始阶段采用较大的步长，使算法具有较快2．4．2算法流程的收敛速度和跟踪速度；然后随着收敛的加深逐渐表2多尺度小波变换变步长LMS算法流程减小步长使算法有较小的稳态误差。变步长LMS算法流程算法，它用变换的步长因子(n)代替LMS算法中参数设置：M=滤波器的抽头数的固定步长，在此，通过建立步长因子与误差信．a=幅值调整系数号e之间的非线性函数关系，得到了基于抽样函数的b=抽样函数波形控制系数变步长LMS算法【J，该算法在保证较好的收敛精度下提高了收敛速度和跟踪速度，更大程度上解决了收已知数据X(n)=[(n)，(n—1)，·--，(n—m+1)]敛速度和稳态误差的内在矛盾，迭代公式为：为抽头输入向量，W(n+1)=W(n)+2(n)e(n)u(n)d(n)=期望响应日、G分别是由共轭正交镜像低通滤波器{n)～1一)(17){h}和高通滤波器{g}构成的小波变换矩阵Le(n)=d(n)一U(n)W(n)初始化：V(0)由先验知识确定，否则令V(0)=0其中：的最大值在b×e(n)=3v／2；a的最大值约为迭代计算对n=0，1，⋯，计算a=0．8／A⋯，在0