大学数学实验八_线性规划.pdf

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1、大学数学实验八线性规划实验报告【实验目的】1、掌握用MATLAB优化工具箱解线性规划的方法。2、练习建立实际问题的线性规划模型。【实验内容】6某银行经理计划用一笔资金进行证券投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税，此外还有以下限制：①政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；②所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；③所购证券的平均到期年限不超过5年。试问：①若该经理有1000万元资金，应如何投资？②如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操

2、作？并考虑利率在什么范围内变化时，投资方案不改变？③在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？证券名称证券种类信用等级到期年限/年到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.51一、线性规划的模型建立这很明显是一个约束优化的问题。其模型应该包括决策变量、目标函数和约束条件三个部分。（一）决策变量具体到这个问题，决策变量应该指的是这个银行经理的投资意向。设他对这5个证券分别投资了、、、、万元。（二）目标函数毫无疑问，这个银行经理进行投资活动，一定是希望能够利

3、用手头的资金获得最大的收益，所以目标函数是最终的总收益。最终的总收益即每种证券的收益之和，再扣除非市政证券的收益税收。具体到这个问题，非市政证券的所得税率是50%，相当于非市政证券的收益减小了一半。故有：（三）约束条件这个问题有来自几方面的约束。（1）政府和代办机构证券的最低购入量限制：（2）所购证券的信用等级限制：即（3）所购证券的到期年限限制：即（4）购买资金总额限制（按照常理，要让手头的资金发挥最大的价值就必须全部投资）：（5）决策变量皆为非负：、、、、2综上所述，可得如下基本模型。、、、、二、利用MATLAB分析投资方案利用MATLAB的linprog程序求解这个问题的最优解。有几

4、个问题需要说明：（1）程序默认求解最小值，故将目标函数取负。（2）约束条件中有大于号的应两边取负变为小于号。具体程序如下。c=-[0.043,0.027,0.025,0.022,0.045];A1=[0,-1,-1,-1,0;0.6,0.6,-0.4,-0.4,3.6;4,10,-1,-2,-3];b1=[-400,0,0];A2=[1,1,1,1,1];b2=1000;v1=[00000];[x,f,exit,out,lag]=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1)运行上面的程序后得到的最优解和最优值如下。x=x表示最优解；218.18180.0000f表示最优值；736.3

5、636exit=1表示收敛。0.000045.4545这个程序采用的方法是内点法。f=（algorithm:'large-scale:interior-29.8364exit=point'）13可见，这个银行经理手中的1000万元应该这样投资：购买A证券218.1818万元，购买C证券736.3636万元，购买E证券45.4545万元。最终的收益为29.8364万元。输出的lag.ineqlin如下：[0.0000,0.0062,0.0024]这表明第一项约束式并没有起作用，而第二个和第三个约束条件起了作用，即在这个最优解下，第2、3个约束条件是等式约束。下面尝试使用不同的算法进行计算，通

6、过比较它们的迭代次数来反映其优劣。前面使用的方法是内点法，程序输出的迭代次数为6。根据教材上对内点法的介绍，它在解决特别大规模的问题时有明显优势，本题属于小规模的线性规划问题，内点法是否有优势不能确定。用有效集方法和单纯形算法计算的程序如下（加在上面的程序之后即可）。opt1=optimset('largescale','off');[x,f,exit,out,lag]=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1,[],[],opt1)opt2=optimset(opt1,'simplex','on');[x,f,exit,out,lag]=linprog(c,A1,b1,A2,b2

7、,v1,[],[],opt2)运行程序后发现，输出的最优解和最优值完全一样，而有效集方法的迭代次数为4，单纯形算法的迭代次数仅为1。可见，在像本题一样的小规模线性规划问题求解过程中，内点法并没有明显优势。三、分析可贷款情况下的投资方案在上述程序运行完毕的基础上，让MATLAB输出lag.eqlin，输出量为0.0298。这个数字的意义是，总投资金额每增加1万元，最终收益会增加0.0298万元。也就是说投资金额每增加100