概率论课堂讲义63.pdf

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1、6.3几类重要的随机过程6.3.1．马尔可夫过程(Markov)设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥3及T中任意n个不同的参数t1

2、X(t)x,X(t)x,,X(t)x,}nn1122n1n1P{X(t)x

3、X(t)x},nnn1n1则随机过程{X(t),tT}称为马尔可夫过程.6.3.2平稳过程（统计规律不随时间推移而改变）设{X(t),tT}是随机过程，对于任

4、意的h，及T中任意n个不同的参数t，t，…，t，当t+h,t+h,…,t+hT，12n12n（X(t),X(t),…,X(t)）与(X(t+h),X(t+h),…,X(t+h))12n12n的分布函数相同，即Fxx(,,,xtt;,,,)tFxx(,,,xt;ht,h,,th)12n12n12n12n则称此随机过程{X(t),tT}为严（强，狭义）平稳过程。上式称之为平移不变性或严平稳性。易见严平稳过程的概率特性不随时间的平移而改变。平稳过程的参数集T,一般为(-,+),0,+,{

5、0,1,2,…},{0,1,2,…}。当参数集T为离散时平稳过程称为平稳序列。以下如无特殊说明，均认为参数集T=(-,+)将过程分化为平稳与非平稳的意义1.平稳过程可以不考虑开始时间2.平稳过程有很好的统计性质（数字特征）例.设{Xn,n0}是独立同分布的随机变量序列,且XnU(0,1),n=1,2,…,讨论{Xn,n0}是否为严平稳过程。并求E(Xn)与E(XnXm),n、m=0,1,2,….解：设U(0,1)的分布函数为F(x),则对任意的正整数k和h,任意0

6、h,Xnh,Xnhn1n2nk12k的分布函数均为kF(x1,x2,,xk)F(xj)j1可见，满足定义条件，故{Xn,n0}是严平稳过程。因为XnU(0,1)，且相互独立，所以E(Xn)=1/2，112nmE(X)nmE(XX)n124nmE(X)E(X)nm1nmnm4注1一般来说用定义去判断某个随机过程是否具有严平稳性是很困难的。若在实际问题中产生随机过程的环境和主要条件在时间进行中保持不变，则可认为此过程就是平稳的。注2严平稳过程的所有样本函数都在某一水平直线上下随

7、机波动。严平稳过程的基本性质(1)严平稳过程的一维分布函数与时间t无关。(2)严平稳过程的二维分布与时间起点无关只与时间间隔有关。严平稳过程的数字特征定理如果{X(t),tT}是严平稳过程，且对任意的tT，E[X2(t)]<+,则有(1)E[X(t)]=常数，tT；(2)E[X(s)X(t)]只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+,所以E[X(t)]存在。在严平稳过程的定义中，令h=-t,由定义X(t)与X(0)同分布，

8、所以E[X(t)]=E[X(0)]为常数。一般记为X.(2)由Cauchy-Schwarze不等式{E[X(s)X(t)]}2E[X2(s)]E[X2(t)]<+,所以E[X(s)X(t)]存在。在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义(X(s),X(t))与(X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]=E[X(0)X(t-s)]即Rx(s,s+)=E[X(0)X()]=Rx()所以，Rx(s,t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。进而，Cxx(s,t)=E{[X(t)-][X(t+

9、)-]}=Rx()-2只与xxx有关。定义设{X(t),tT}是二阶矩过程,如果(1)E[X(t)]=x(常数)，tT；(2)对任意的t,t+T,Rx()=E[X(t)X(t+)]只依赖于。则称{X(t),tT}为宽平稳过程,简称为平稳过程.特别地，当T为离散参数集时，若随机序列{Xn}满足E(X2)<+,以及n(1)E[Xn]=x(常数)，nT；(2)Rx(m)=E[XnXn+m]只与m有关。称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。严平稳过程和宽平稳过程的关系(1)．严平稳过程不一定是宽平

10、稳过程,因为严平稳的过程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过程时,则它一定是宽平稳过程。(2)．宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程,两者是等价的。例1设{Xn,n=0,1,…}是互不相关的时间序列,且E[X]=0,D(X)=2>0,讨论其平稳性.nn解: