概率论课堂讲义62.pdf

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1、6.2随机过程的概率分布和数字特征6.2.1．概率分布1.n维分布函数设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥1及T中任意n个不同的参数t,t，…，t，称随12n机向量（X(t),X(t),…,X(t)）的分布函数12nF{x,x,,x;t,t,,t}12n12nP{X(t)x,X(t)x,,X(t)x}1122nn为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数.变化n及t,t，…，t所得到的有限维分布函数的12n全体F{x1,x2,,xn;t1,t2,,tn},Ft,t,,tT,tT,n1

2、12n称为{X(t),tT}的有限维分布函数族。当n=1时,得到一维分布函数F(x;t)=P{X(t)≤x},一维分布函数的全体{F(x;t),t∈T}称为一维分布函数族.一维分布函数刻划了随机过程在各个个别时刻的统计特性。要描述不同时刻状态之间的统计联系，就需要用多维分布函数，而要描述随机过程的全部统计规律就要用有限维分布族。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布族是不可能的。因此，人们往往用随机过程的某些统计特征来取代分布函数族。其中常用的是下面介绍的随机过程的数字特征。二阶矩过程定义2{X(t),tT}为随机过程，若对

3、于任意的tT,E[X(t)]，则称其为二阶矩过程。6.2.2．随机过程的数字特征设{X(t),tT}为二阶矩过程，定义{X(t)}的数字特征为：①函数X(t)E[X(t)],tT为{X(t),tT}的均值函数.22②X(t)E[X(t)]为{X(t),tT}的均方值函数.2③(t)D(t)D[X(t)]XX为{X(t),tT}的方差函数.④C(s,t)Cov(X(s),X(t))XE[X(s)(s)][X(t)(t)]XX为{X(t),tT}的协方差函数.⑤Rx(s,t)=E[X(s)X

4、(t)]为{X(t),tT}的自相关函数，简称相关函数.3.诸数字特征的关系：2(t)R(t,t),C(s,t)R(s,t)(s)(t)XXXXXX22()tCtt(,)Rtt(,)()tXXXX例:设随机过程X(t)=Ycosωt+Zsinωt,t≥0,其中Y,Z是相互独立的随机变量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)=2，求{X(t),t≥0}均值函数x(t)和自相关函数Rx(s,t)。解:x(t)=E[X(t)]=E[Ycosωt+Zsinωt]=cosωtE(Y)+sinωtE(Z

5、)=0,因为Y与Z相互独立,于是R(s,t)E[X(s)X(t)]XE[YcossZsins][YcostZsint]22cosscostE(Y)sinssintE(Z)2cos(ts)例2:考虑随机过程X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的随机变量，通常称此随机过程为随机相位余弦波，求随机相位余弦波的均值函数，方差函数和自相关函数.1(0,2)解:Θ的概率密度为f()20(0,2)于是X(t)

6、E[X(t)]E[acos(t)]21acos(t)d0022R(s,t)E[X(s)X(t)]E[acos(s)cos(t)]X212acosscostd022acosts2222a(t)R(t,t)(t).XXX2例3:设随机过程X(t)=Y+Zt,tT=(-∞,+∞),其中Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求{X(t),-∞

7、X(t)]=E(Y)+tE(Z)=0,D[X(t)]=D(Y)+t2D(Z)=1+t2所以一维概率密度为2x12(1t2)f(x,t)e22(1t)又由正态分布的性质知，对于任意tt1,,2Tt1t2((),XtXt())服从二维正态分布而12E[X(s)]=E[X(t)]=0；D[X(s)]=1+s2,D[X(t)]=1+t2C(s,t)R(s,t)E[YZsYZt]1stXX1sts,tX221s1t所以二维概率密度为1fxxtt(,;,)12122222(1tt)(

8、1)112221xxxxexp121222(12)1tt2(1tt22)(1)121212其中=x(t1,t2).6.2.3二维随机过程的分布函数和数字特征1