《概率论课堂讲义》PPT课件

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1、3.2边缘分布与随机变量的独立性边缘分布随机变量独立性一、边缘分布的定义1．边缘分布设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分布函数分别记为Fx(x)和FY(y),依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.2.公式.由于Fx(x)=P({X≤x}∩{Y<+∞})=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)同理有FY(y)=F(+∞,y).例1:设(X,Y)的分布函数为F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，-∞

2、+∞求(1)常数A,B,C(2)边缘分布函数Fx(x),FY(y)。解:由分布函数的性质知联立这三个方程,并取x=0,y=0,可得A=1/π2,B=π/2,C=π/2.从而1．边缘分布律设(X,Y)为离散型二维随机向量,分别称X和Y的分布律为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。2．计算问题：设(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i，j=1,2,…,求关于X和Y的边缘分布律。二、离散型二维随机向量的边缘分布律例2XY-10410.170.050.2130.040.280.25求

3、(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。3．边缘分布律的表示法解:X的可能取值为1,3且P{X=1}=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=4}=0.17+0.05+0.21=0.43P{X=3}=P{X=3,Y=-1}+P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=4}=0.04+0.28+0.25=0.57因此关于X的边缘分布律为X13p0.430.57同样的方法求得关于Y的边缘分布律为Y-104p0.210.330.46我们把边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上如下表所示YX-

4、104P{X=xi}=pi.10.170.050.210.4330.040.280.250.57P{Y=yj}=p.j0.210.330.461边缘分布律的表示法三、连续型随机向量(X,Y)的边缘概率密度1.边缘概率密度设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y),X和Y的概率密度分别为fx(x),fY(y),分别称fx(x),fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。2.公式:例3设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24=1,得c=24/5。解：(1

5、)由概率密度的性质，(2)注意积分限注意取值范围xy01y=x即例:设(X,Y)在单位圆D{(x,y)

6、x2+y2<1}上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。解：(X,Y)的概率密度为：-10x1xy先求fx(x):当-1

7、的情况。那么我们怎么定义随机变量独立性这一概念呢？直观上，如果随机变量X(Y)的取值丝毫不影响随机变量Y(X)的取值，则X和Y是独立的随机变量。即设I1，I2为数轴上任何两个区间，事件{X∈I1}与{Y∈I2}是独立的，即P{X∈I1，Y∈I2}=P{X∈I1}P{Y∈I2}特别取I1=(-∞,x]，I2=(-∞，y]，(x，y为任意实数)，上式就化为P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}即为F(x，y)=FX(x)FY(y)反之，若X与Y满足F(x，y)=FX(x)FY(y)，则有P{x1

8、

9、函数。若对于所有x，y有F(x，y)=Fx(x)FY(y)则称随机变量X和Y是相互独立的。一、随机变量独立性的定义例1:设(X,Y)的分布函数为,边缘分布函数分别为容易看出，对于任意实数x，y都有F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X与Y是相互独立的解:讨论X与Y的独立性。-∞