关于Stolz定理的一个证明

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1、第31卷第1期内蒙古农业大学学报Vo1.31No.12010年3月Mar.2010JournalofIdnerMongo~aAgriculturalUniversity关于Stolz定理的一个证明李树华(1.内蒙古农业大学理学院,呼和浩特010018;2.铁岭师范高等专科学校,铁岭112001)摘要:本文利用极限的定义,极限的四则运算法则及恰当的等价变形给出Stolz定理(型)的1个简单易懂的证明法.关键词:极限的定义;极限的四则运算;Stolz定理中图分类号:o171文献标识码:A文章编号:1009—3575(

2、2010)01—0282—04ANPRVINGONSTOLzTHEOREMLIShu.hua(1.Col~geofSciences,InnerMongoliaAngriculturalUniversity,Hohhot010018,China2.TielingNormalCollege,Tieling112001,China)Abstract:Bydefinitionoflimit,ruleoffourfundamentaloperationsoflimitandrightequivalenttransforms

3、;ThepaperslvenaneasymethodforprovingSTOLZtheoremKeywords:Definitionoflimit;fourfimdamentalopemtiomoflimit;STOLZtheorem.Stolz定理是数学分析中用来证明或者是计算某种类型极限时很有用的1个定理,但是许多数学分析书上关于该定理的证明都比较复杂,尤其是初学者都不容易看懂,下面本文给出1个简单易懂的证明方法。Stolz定理(型):设有数列)},其中}是严格递增且趋于+o。的数列,如果O0lim_an-

4、an-1—___:A(A可以是有限或无限)n-4.~oD一D一l~tVz,lim:An.-.~oo证明:(1)设是有限数因为lim了an-an-1—_:A,故对V>0,3N,当Ⅳ时,有—}£一£—l—一<—!二—!二一A<,即BuA一<—竺二—!二0故(一)(一一1)

5、作莩者品简羿介:2李00树9华-0(919-728一),女,讲师。主要从事高等数学的教学与研究.第1期李树华:关于Stolz定理的一个证明283(A一)(一一1)N,当,2Nt时有I竿

6、nOnOnI+(1一bN-1)(l=iI+l(一)I<+=2占这就证明了1im:。这种证明方法是很不容易想到的。n文【2】的证明方法与此类似。在文[3】中,导入上述()式后,接下来的证明方法如下:an一一由()式有一<卜鱼:<+故(一一)+<詈<(+一)+由此可得A—liminf_anlimsupA+。。∞再让0,即得Aliminf_anlimsupa—nA,oOOn—∞由此lim—an:。。On这个方法虽然比文[1]的简单些,但涉及到了上下极限,而上下极限对初学者也是较难掌握的内容。下面本文只利用利用极限的定义

7、及其四则运算法则给出1个简单易懂的证明法.anaN—l由()式有:<+内蒙古农业大学学报2010芷日aN—lb即对V>0,3N,当n≥Ⅳ时有:一I

8、v一1limaN-1=0;2NN⋯—∞,)"再由极限加法的运算法则lim_an:lim[(一)+]=Art-~.oobnrt-->oobnbnbn(2)设A是+oo因为lim二:+oon-.-~

9、oobn—bn一1故3N,当≥Ⅳ时,有>1,即-an-I>一一1>0则}单调增加,y.~Y-a一aN=(a”一an-1)+(口一1一a一2)+⋯(aN+2一aN+1)+(Ⅳ+l—aN)>(一一1)+(一1一一2)+⋯(+2一bN+1)+(6Jv+l—bN)=一bN+oo故口”—+∞应用(1)的结果lim塑:O—∞口一口一l故lim:0,即lim—an:+。。n—o。aHn

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