拓展一道课本习题的变式思维.pdf

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拓展一道课本习题的变式思维一刘冰数学教学中，通过一个基本问题的变式，探索问题的发展二类：当A、曰、D、F用到3种颜色时，不妨设区域曰、D同色，这时变化，使其在理解数学本质的同时，拓展了数学思维下面就苏科区域C、E、G分别有3，2，2种颜色可选，再考虑D、F同色，F、B同版普通高中课程标准实验教科书(选修2—3)P。。第16题进行变式色的类似情形，此时染色方法共有5X4X3X3X2X3=2160题目：用4种不同颜色给如图1所示的地图上色，要求相邻种．第三类：当A、、D、F用到2种颜色时，区域、D、F必然同两块涂不同颜色，共有多少种不同涂法?色，区域C、E、G都有3种颜色可选，此时染色方法共有5×4×3解：第一步：涂①有4种涂法；第二步：涂②有3种涂法；第=540种．所以共有960+2160+540=3660种染色方法．三步：涂③：当①与③颜色相同，④有2种涂法；当①与③颜色不相同，③有2种涂法，④有1种涂法．所以共有4X3X1X2+4X3X2X1=48种涂法．变式1：如图2所示，一个地区分为五个行政区域，现给地图着@图5图6图7色，要求相邻区域不得变式5：如图6，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一图1图2使用同一颜色，现有四个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种?为％．求：(1)n1，n2，，。4；(2)％与％+。(n≥2)的关系式；解：第一步：先涂1区，有4种涂法；第二步：涂3，5区：当3，(3)口．5同色时，2，4各有2种涂法，此时有3X2X2=12种涂法，当3，解：(1)n。=3，n2=6，=6，口=18；(2)依次对扇形区5不同色时2，4各有1种涂法，此时有3×2×1X1=6种涂法．域1，2，3，⋯，n，n+1染色，不同的染色方法种数为3X2，其中所以共有4×(12+6)=72种方法．扇形区域1与n+1不同色的有o种，扇形区域1与n+1同变式2：用4种不同颜色对图3中的5个区域涂色，要求每个色的有0种，所以口+n=3X2(n≥2)．区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有几种涂色方法?解：先给4号区域着色，有4种选择，再给5号区域着色，有3(3)因为。+O,n=3×2(n≥2)，所以=种选择，再给1号、3号区域着色，分两种情况讨论：(1)1号、3号区域着色相同，有3种选择，最后给2号区域着色，有2种选2以南一南=2，择；(2)1号、3号区域着色不同，有3X2=6种选择，最后给2号⋯区域着色，仅有1种选择．所以共有4×3X(3X2+3×2)=144，’南(一1)一南(一1)=一(一1)。Jrl：lJJI41~(一1)十1一南(一1)=一种方法．变式3：用四种不同颜等(≥2)，所以，：2+(_1)．色给图4中的、B、C、D、1I2l32(≥2)，经检验得口：{’’E、F六个点涂色，要求每L2+(一1)·2，n≥2．4个点涂一种颜色，且图中变式6：如图7，将一个圆环分成n(n∈N+，n≥3)个区域，5每条线段的两个端点涂不用m(m≥3)种颜色给这n个区域染色，要求相邻区域不使用同同颜色，则不同的涂色方图3图4一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种?法有多少种?解：设％表示n个区域染色的方案数，则％=m(m一1)解：按所用颜色分类．一0一l(n≥2)，且n3：m(m一1)(m一2)．所以n一(m一1)“第一类：用三种颜色涂必然两两同色，即AC，BD，EF或AF，=一(0一一(m一1)“)(n≥3)，所以n一(m一1)=(一1)(0，BD，CE同色，有2A；=48种；第二类：用完四种颜色涂，则A，D，一(m一1))(n≥3)，所以％=(m一1)+(一1)(m一1)(n≥3)．E肯定不同色，有A=24种涂法，再从B，F，C中选一位置涂第以上是笔者对这道题目做的几个变式，数学课堂教学要把四色有3种，若所选是曰，则F，C共有3种涂法，所以·C·3学生自主学习和主体智力参与，以及多向性、多层次的交互作用=216种．所以共有48+216=264种涂法．引进教学过程，才能使教学结构发生质的变化，才能使学生成为变式4：如图5，用五种颜色为A、B、C、D、E、F、G7个区域染创造的主人．开展变式练习，有利于学生对实际问题的动态处色，要求相邻区域异色．不同的染色方法共有多少种?理，克服思维和心理定势，实现创新目标．解：第一类：当A、曰、D、，用到4种颜色时，区域C、E、G都有[南京市溧水区溧水第二高级中学(2112oo)]2种颜色可选，此时染色方法共有5X4X3×2×2=960种．第