特征值与特征向量(0808).ppt

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1、第5章特征值与特征向量§5.2矩阵的相似关系§5.3矩阵的相似对角化§5.1特征值与特征向量§5.5若当（Jordan）标准形简介§5.4实对称矩阵的相似对角化7/29/20211先看一个例子：求二次齐次函数在条件下的极值。§5.1特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念7/29/20212记其中则条件限制为作拉格朗日函数令：则有：（5.1）或：（5.2）7/29/20213这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组（5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组（5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解，就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。定义

2、5.1设n阶方阵（1）称为A的特征矩阵；（2）称（5.3）为A的特征多项式；7/29/20214（3）称A的特征多项式的根，即的根为A的特征值；（4）若是的某个特征值，则称齐次线性方程组（5.4）的非零解为A的属于特征值的特征向量。7/29/20215从定义中可以看出：行列式（5.3），即A的特征多项式是一个关于的首项系数为1的n次多项式，它的根（包括重数在内），也就是A的特征值共有n个；同时由（5.4）可知特征向量的概念是相对某个特征值而言的概念，如果是A的特征值，则A的属于的特征向量就是以特征矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组（5.4）的全部非零解，常称此

3、齐次线性方程组的任意一个基础解系为A的属于的极大无关特征向量组。7/29/20216上述定义实际上给出了求方阵的特征值与特征向量的方法：第一步：求出A的特征多项式；第二步：求出代数方程的n个根，即得A的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内共有n个）；第三步：对每个特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，即属于的极大无关特征向量组：；7/29/20217第四步：作线性组合（不全为零），它就是A的属于的全部特征向量。例1求3阶方阵的特征值与特征向量。7/29/20218解：A的特征多项式为：故A的特征值为：（二重）。对于而言，求解齐次线性方程组即7/29/

4、20219得它的一个基础解系：故A的属于的所有特征向量为7/29/202110对于而言，求解齐次线性方程组即得它的一个基础解系：故A的属于的所有特征向量为（不全为零）7/29/202111例2求3阶方阵的特征值与特征向量。解：A的特征多项式为：7/29/202112故A的特征值为：（三重）。求解齐次线性方程组，即得它的一个基础解系：所以A的属于特征值2的所有特征向量为（不全为零）7/29/202113定义5.2设A是n阶方阵，若存在数及n维非零向量，使得：（5.5）则称是A的特征值，是A的属于特征值的特征向量.上述定义5.1与定义5.2是等价的事实上，若有

5、（5.5）式，即，则可将其改写为：7/29/202114例3设A为n阶方阵，则A与有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。证明：因为：则A与有相同的特征多项式7/29/202115例4设n阶方阵A满足（为正交矩阵），则的特征值必为1或-1证明：设为的特征值，且对上式两边左乘7/29/202116再对其两边左乘由此但，则或7/29/202117定理5.1设，且是的n个特征值（重根按重数算），则有：（1）A的n个特征值之和等于A的主对角线元素之和，即：（5.6）（2）A的n个特征值之积等于A的行列式，即：（5.7）二、特征值与特征多项式的关系7/29/2021

6、18证明：注意到A的特征多项式为：易知特征多项式中与两项只可能出现在主对角线的乘积项中,因此前的系数必为：；7/29/202119而特征多项式的常数项为即有由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得：推论方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值7/29/202120例5设A为三阶方阵，且满足：，求解：由定义5.1知，若，则A有特征值；同理：7/29/202121定理5.2设n阶方阵A有特征值，则分别有特征值：，其中m为正整数，是A的伴随矩阵。（1）证明：因为A有特征值，故存在非零向量，使得：，于是：（2）；三、特征值与特征向量的性质7/29/202122（3

7、）对两边左乘有：，即：（4）因为，则有：，即：由此可见分别有特值：7/29/202123注意：由此例可知，若A有特征值，则A矩阵多项式有特征值：7/29/202124定理5.3设是方阵的个互异的特征值，且分别是属于的特征向量，则必定线性无关，即A的不同特征值对应的特征向量必定线性无关。证明：用归纳法证明，时，一个非零向量必定线性无关，结论成立。当时(5.8)7/29/202125将（5.8）式两边左乘A又将（5.8）式两边乘以，得：则：7/29/202126由归纳假设知线性无关，故有：而，故只有，再由（5.8）式知：但，从而，则由此线性无关据归纳法知结论对

8、任意m都成立7/29/202127定理5.4设是方阵A的m个互异特