2015考研数学强化班概率统计重要题型讲解.pdf

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1、2015考研数学强化班概率统计重要题型讲解第一章随机事件与概率题型一三种基本概型【内容提要】一、古典概型若随机试验的可能结果有限，且每个可能的结果发生的概率相同，称其为古典概型。A中所含样本点数P(A)=。样本点总数二、贝努利概型设随机试验每次试验只有两个可能结果，且每次试验两个可能的结果发生的概率不变，n次这样的试验称为n重贝努利试验。设每次试验发生A与A，且P(A)=p，令A={n次试验中A发生k次}（k=,1,0",n），则kkkn−kP(A)=Cp1(−p)（k=,1,0",n）。kn三、几何概型设Ω为有限区域，且区

2、域中每个点发生等可能，称其为几何概型。A的几何度量P(A)=。Ω的几何度量【例1】口袋有10个球，其中4个白球、6个黑球，从中任取两个，求：（1）两个都是白球的概率。（2）两个球中一个是白球一个是黑球的概率。（3）至少有一个白球的概率。1【例2】在区间)1,0(内任取两个数x,y，求x,y之差的绝对值小于的概率。21【解】令Ω={(x,y0

3、)

4、)x,y)∈Ω且

5、x−y

6、<}，则211−SA43P(A)==购课认准惊呼网=。S14Ω22222【例3】x+y+z≤2内每点等可能取到，求取

7、到单位球与z≥x+y内点的概率。22222【解】令Ω={(x,y,z

8、)x+y+z≤}2，A={(x,y,z(

9、)x,y,z)∈Ω且z≥x+y}，82又VΩ=π，312015考研数学强化班概率统计重要题型讲解222⎧⎪x+y+z=222由⎨得x+y=1，22⎪⎩z=x+y222222于是A={(x,y,z

10、)x+y≤,1x+y≤z≤2−x−y}，2π122222V=(2−x−y−x+y)dxdy=dθr(2−r−r)drA∫∫∫0∫022x+y≤13122211(42−)1=2π[−⋅2(−r)

11、−]=π，02333VA2−

12、1故P(A)==。VΩ2219【例4】在3次独立试验中，事件A发生的概率不变且A至少出现一次的概率为，求事件A发生的概27率。题型二事件的关系与运算【例1】设A,B为两个随机事件，且0

13、A)=P(B

14、A)。1【例2】设两个独立的事件A,B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与A不发生B发生的概率9相等，求P(A)。【例3】设事件A,B同时发生时，事件C一定发生，则下列结论正确的是（）(A)P(AB)=P(C)(B)P(A+B)=P(C)(C)P(C)≥P(A)+P(B)

15、−1(D)P(C)≤P(A)+P(B)−1。题型三全概率公式与贝叶斯公式【例1】甲、乙两人对同一目标射击，命中率分别为6.0与5.0，就下列两种情形求“已知目标命中，求是甲击中的概率”：（1）甲、乙两人同时射击。（2）甲、乙两人中先选择一人，由此人射击。【例2】口袋中有12个球，其中红球5个，白球7个，先后两次各取一个球（不放回），求：（1）求第二次取红球的概率。购课认准惊呼网（2）已知第二次取红球，求第一次取红球的概率。【例3】设有来自三个地区的各10、15、25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3、7、5，随机取一个地

16、区，从该地区报名表中先后抽取两份表明表。（1）求先抽到的是女生报名表的概率p。（2）已知第二份抽到的男生报名表，求先抽到的是女生报名表的概率q。【例4】设X~π(λ)，随机变量Y等可能取0~X之间的整数，求P{Y=}2。22015考研数学强化班概率统计重要题型讲解第二章一维随机变量及分布题型一分布律与分布密度、分布函数【例1】设X,Y为两个随机变量，其密度为f(x),f(x)，分布函数为F(x),F(x)，下列函数是密度函1212数的是（）(A)f(x)+f(x)(B)f(x)f(x)1212(C)f(x)F(x)(D)f(

17、x)F(x)+f(x)F(x)。121221⎧,0x<0⎪⎪1【例2】设随机变量X的分布函数为F(x)=⎨0,≤x<1，求P{X=}1。⎪2−x⎪⎩1−e,x≥12−x−x【例3】设X的概率密度为f(x)=Ae，求A。11【例4】设随机变量

18、X

19、≤1，其分布为P{X=−}1=,P{X=}1=，在(−)1,1内X的概率与区间长度84成正比，求F(x)。【例5】由四个电子元件先两两串联再并联，各个元件工作状态相互独立，且每个元件正常工作时间服从参数为λ的指数分布，求整个系统正常工作T的分布。题型二常见的随机变量的分布2【例1】设

20、随机变量X~N,2(σ)，且P2{

21、X−μ

22、<}1>P{

23、Y−μ

24、<}1，则112212（）(A)σ<σ。(B)σ>σ。(C)μ<μ。(D)μ>μ。121212122【例3】设X~N(μ,σ)，其