考研数学强化阶段重要题型攻略——概率论与数理统计(三)

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1、2012钻石卡考研数学强化阶段重要题型攻略—概率论与数理统计（一）万学海文独立性是概率事件非常重要的关系之一，事件,若满足，则称事件，相互独立.有了独立性作为条件，使积事件的概率计算变得简单.在理解事件独立性概念的同时，必须要清楚独立与互斥的区别，两两独立和相互独立的关系.(1)事件,独立和事件,互斥是两个不同的概念，前者与事件发生的概率有关，而后者与概率无关，两者在逻辑上没有必然联系.(2)若事件,既独立又互斥，则或.这是因为.(3)多个事件相互独立一定两两独立，但多个事件两两独立不一定相互独立.(

2、4)概率为0或概率为1的事件与任何事件都独立.【例1】设,,为随机事件，与相互独立，且，则下列事件中不相互独立的是().A.B.C.D.分析判定事件独立与否，除了应用等式进行判断外，还可以根据独立的等价定义进行判断，即,两事件独立等价于事件发生与事件发生没有关系.或根据相互独立的随机事件的规律：两个不含相同元素的事件相互独立来判断.若题目条件中给出了，也可根据“概率为0或概率为1的事件与任何事件独立”的原则来判断.解因为，，所以，即，从而，同理.因为概率为0或概率为1的事件与任何事件都相互独立，故选项

3、A、选项B、选项D中的事件均相互独立，所以选C.【例2】设事件,,两两独立，且.(1)若事件,,中至少有一个发生的概率为，事件,,至少有一个不发生的概率为，求.(2)若，通过计算确定的取值范围.解(1)根据事件的关系知，,,至少有一个发生的概率为，同理,,至少有一个不发生的概率为.设.且由,,两两独立得①又因为，即有，所以.将代入①式得，即.解得或.因为，所以.(2)因为.记，由,,两两独立及得.由于，所以，故，即.