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1、2008春季班线性代数第6章向量空间6—1第6章向量空间6.1向量空间与子空间设V是n维向量的集合，若∀α,β∈V,有α+β∈V，则称V关于加法封闭；若∀α∈V，k是常数，有kα∈V，则称V关于数乘封闭．设V是n维向量的非空集合，如果对于向量的加法和数乘向量这两种运算封闭，则称V是向量空间．若向量空间V的非空子集合W是一个向量空间，则称W是V的一个子空间．6.2基，维数与坐标，基变换与坐标变换，过渡矩阵设V是一个向量空间，如果V中有r个线性无关的向量α1,α2,?,αr，且V中任一向量都可由这r个向量线性表出，则称向量组α1,α2,?,αr是空间V的一个基，基中向量的个数r称为向量
2、空间V的维数．并称V为r维向量空间．设α1,α2,?,αn是n维向量空间V的一个基，α是V中任一向量，那么α就可以由这个基唯一地线性表出，设α=a1α1+a2α2+?+anαn，则称有序数组a1,a2,?,an为向量α在基α1,α2,?,αn下的坐标，记作()TX=a1,a2,?,an．2008春季班线性代数第6章向量空间6—24例1已知α1,α2,α3,α4是向量空间R的一个基，4则选项也是R的一个基．（A）α1+α2−α3+α4，α1+α2+α3+α4，α1+α2−α3；（B）α1+α2，α2+α3，α3+α4，α1+α4；（C）α1−α2，α2−α3，α3−α4，−α1+α4
3、；（D）α1−2α3，α2+α4，2α1+3α3，−α2+5α4．例2已知三维线性空间的一个基为()TTα1=1,1,0，α2=(1,0,1)，()TTα3=0,1,1,求α=(2,0,0)在这个基下的坐标．一个向量空间的基是不唯一的，设α1,α2,?,αn和β1,β2,?,βn是n维向量空间V的两个基，那么对于基α1,α2,?,αn来说，β1,β2,?,βn作为n维向量空间V的向量就可以由α1,α2,?,αn线性表出，假设它们有如下关系：⎧β1=a11α1+a21α2+?+an1αn⎪⎪β2=a12α1+a22α2+?+an2αn⎨,????????????⎪⎪⎩βn=a1nα1
4、+a2nα2+?+annαn2008春季班线性代数第6章向量空间6—3⎛a11a12?a1n⎞⎜⎟⎜a21a22?a2n⎟令A=，⎜????⎟⎜⎟⎜⎟⎝an1an2?ann⎠其中第i列就是βi在基α1,α2,?,αn下的坐标．于是上式可写作(β1,β2,?,βn)=(α1,α2,?,αn)A，称A是由基α1,α2,?,αn到基β1,β2,?,βn的过渡矩阵．过渡矩阵是可逆矩阵．设α1,α2,?,αn和β1,β2,?,βn是n维向量空间V的两个基，由基α1,α2,?,αn到基β1,β2,?,βn的过渡矩阵是P，又α∈V在基α1,α2,?,αn和β1,β2,?,βn下的坐标分别是()T
5、TX=x1,x2,?,xn和Y=(y1,y2,?,yn)，于是(β1,β2,?,βn)=(α1,α2,?,αn)P，且α=(α1,α2,?,αn)X及α=(β1,β2,?,βn)Y，则向量α在这两个基下的坐标有如下关系：X=PY或−1Y=PX．2008春季班线性代数第6章向量空间6—4⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟3例3已知R的两个基为α1=⎜1⎟，α2=⎜0⎟，⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝−1⎠⎛1⎞⎛1⎞⎛2⎞⎛3⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟α3=⎜0⎟和β1=⎜2⎟，β2=⎜3⎟，β3=⎜4⎟．求由⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝1⎠⎝4⎠⎝3⎠基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵．例4已知α1,α2,
6、α3,α4是４维向量空间V的一个基β1=α1+α2+α3+α4，β2=α2+α3+α4，β3=α3+α4，β4=α4．（１）证明β1,β2,β3,β4是V的一个基；（２）求由基β1,β2,β3,β4到基α1,α2,α3,α4的过渡矩阵；（３）求在基α1,α2,α3,α4和基β1,β2,β3,β4下坐标相同的向量．3T例５已知R的向量γ在基α1=(1,0,1)，TTα2=()1,1,1，α3=(1,0,0)下的坐标是TT()1,0,−1，求γ在基β1=(1,2,0)，Tβ2=()1,−1,2，(Tβ3=0,1,−1)下的坐标．2008春季班线性代数第6章向量空间6—56.3内积，正交
7、化，标准正交基T设n维向量α=(a1,a2,?,an)，()Tβ=b1,b2,?,bn，则称T(α,β)=a1b1+a2b2+?+anbn=αβ为向量α与β的内积．向量的内积有以下性质：（１）(α,β)=(β,α)；（２）(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)；（３）(kα,β)=k(α,β)，其中k为实数；（４）(α,α)≥0，当且仅当α=0时，(α,α)=0．当(α,β)=0时，称向量α与β正交．一组两两正交的非零向量称为正交向量组．若α1,α2,?,αs是正交向
