考研数学 线性代数讲义第2章矩阵代数.pdf

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1、2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—1第2章矩阵代数2.1矩阵的概念由mn个数排成m行n列的数表⎛a11a12?a1n⎞⎜⎟⎜a21a22?a2n⎟⎜????⎟⎜⎟⎜⎟⎝am1am2?amn⎠称为矩阵，记作A．其中a称作矩阵A的第i行第jij列的元素．两个矩阵如果大小一样，就说他们是同型的．两个同型的矩阵，如果对应的元素也都一样，就说这两个矩阵相等．若m=1，即A是1×n的，A=(a,a,?,a)称为行矩阵或行向量；若12n⎛a1⎞⎜⎟⎜a2⎟n=1，即A是m×1的，A=称为列矩阵或⎜@⎟⎜⎟⎜⎟⎝am⎠列向量；若m=n=1，这是一个1×1的矩阵，只有一个元素，就看成是一个数，按数的

2、规律进行运算．2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—22.2矩阵的运算两个同型的矩阵可以做加法，它们的和是和它们同型的矩阵，相加的规则是矩阵中对应的元素相加．即设A=(a)，B=(b)，则ijm×nijm×nA+B=(a+b)．ijijm×n矩阵加法的运算性质：（１）交换律A+B=B+A；（２）结合律A+(B+C)=(A+B)+C；（３）有零矩阵０，对任意矩阵A，有A+0=0+A=A；（４）任意矩阵A，都有负矩阵−A，使得A+(−A)=0．其中−A=(−a)．ij设k是一个数，A=(a)，则数k和矩阵Aijm×n的数乘为kA=(ka)ijm×n设k,l是两个常数，A,B是同型矩阵，则（

3、１）1A=A，0A=0；2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—3（２）k(lA)=(kl)A；（３）k(A+B)=kA+kB；（４）(k+l)A=kA+lA．设A=(a)，B=(b)，则ijm×lijl×nAB=(c)，ijm×n其中c=ab+ab+?+ab．iji11ji22jillj矩阵乘法有性质：（１）结合律A(BC)=(AB)C；（２）分配律（A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB．（３）k是常数，则k(AB)=(kA)B=A(kB)．ò设A,B是n阶方阵，则AB=AB．设矩阵A是n阶方阵，A可以自乘，k个A相乘kA叫A的k次幂．矩阵的幂有性质：klk+l（１）AA=

4、A；klkl（２）(A)=A．2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—4设A是n阶方阵，nn−1f(x)=ax+ax+?+ax+ann−110是一个一元n次多项式．用A代多项式中的x，得到矩阵多项式nn−1f(A)=aA+aA+?+aA+aInn−110矩阵多项式还是一个n阶方阵．设A=(a)，则ijm×n⎛a11a21?am1⎞⎜⎟⎜a12a22?am2⎟⎜????⎟⎜⎟⎜⎟⎝a1na2n?amn⎠T称为矩阵A的转置矩阵，记作A．转置有性质：TT（１）(A)=A；TTT（２）(A+B)=A+B；TT（３）(kA)=kA；TTT（４）（AB)=BA；2008春季班线性代数第二章矩阵代数2

5、—5TT例1设α=()1,0,−1，A=αα，n是n正整数，求aE−A．2例２（１）命题“A=0，则A=0”是否正确，若正确，证明之，若不正确，举例说明．2（２）A是二阶矩阵，求满足A=0的所有矩阵．2T（３）证明A=0，且A=A，则A=0．⎛101⎞⎜⎟例3设A=⎜020⎟，而n≥2是整数，求⎜⎟⎝101⎠nn−1A−2A．⎛100⎞⎜⎟n例4设A=⎜110⎟，求A．⎜⎟⎝011⎠T例5设α=()1,2,3,4，T⎛111⎞Tβ=⎜1,,,⎟，A=αβ，则⎝234⎠nA=？2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—6⎛a1b1a1b2a1b3⎞⎜⎟n例6设A=⎜a2b1a2b2a2b3⎟

6、，求A．⎜⎟⎝a3b1a3b2a3b3⎠2.3逆矩阵设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E成立，则称A为可逆矩阵．B是A的逆矩阵．矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于０．设A是n阶方阵，若A≠0，则−11*A=A，A*T其中，A=(A)是A的伴随矩阵．ij⎛ab⎞设A=⎜⎟，若ad−bc≠0，则⎝cd⎠−11⎛d−b⎞A=⎜⎟．ad−bc⎝−ca⎠用矩阵的初等行变换．适合任何具体的数字矩阵．()(−1)AI→?→IA2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—7利用分块矩阵的逆矩阵公式：−1−1⎛A0⎞⎛A0⎞⎜⎟=⎜⎟⎜−1⎟⎝0B⎠⎝0B⎠及−1−1⎛0A⎞⎛0B⎞

7、⎜⎟=⎜⎟⎜−1⎟⎝B0⎠⎝A0⎠逆矩阵有性质：−1−1（１）(A)=A；−11−1（２）()kA=A，其中常数k≠0；k−1−1−1（３）()AB=BA，其中A,B都是可逆矩阵；T−1−1T（４）(A)=(A)．2例７设矩阵A满足A+A−4E=0，求−1(A−E)．例８设A,B,C是n阶方阵，满足ABC=E，求(−1)−1AC．2008春季班线性代数第二章矩阵代数2—8⎛12−2⎞⎜⎟例９设A=⎜4t3⎟，B为３阶非零矩⎜⎟⎝3−