2013年福建省高一数学竞赛试题-参考答案.doc

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1、2013年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月12日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合，，则的非空真子集有（）A．31个B．30个C．15个D．14个【答案】D【解答】由条件知，，，。∴的非空真子集有个。2．给出下列四个命题：①若平面内有不在一条直线上的三个点到平面的距离相等，则。②三个平面可以把空间分成七个部分。③正方体中与对角线成异面直线的棱共有5条。④若一条直线和平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中假命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．

2、4个【答案】C【解答】易知，命题②为真命题，①、③、④为假命题3．设方程与的根分别为，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解答】易知是方程的根，即。设，则，。∴，。4．函数图像的对称中心是（）A．B．C．D．【答案】B112013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准【解答】设。则。∴为奇函数，的图像关于原点对称。∴的图像关于点对称。5．已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点。若球的体积为，则，两点间的距离为（）A．B．C．3D．6【答案】B【解答】由条件知，，，，。设交平面于点。则，为的中心，且。∴，。

3、第4题答题图又由球的体积为知，，。∴。6．已知二次函数（），点。若存在两条都过点且互相垂直的直线和，它们与二次函数（）的图像都没有公共点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】易知斜率存在，且不为0。设的斜率为，则的方程为。由得，。由与二次函数（）的图像没有公共点知，。同理，由与二次函数（）的图像没有公共点知，。由，得；112013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准由，得，或。依题意，方程组有解。∵方程组无解，解得。∴方程组有解。故，的取值范围为。二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知的顶点、在直线：上，

4、点的坐标为。若重心的坐标为，则。【答案】【解答】依题意有，。∴，。设中点为，则点的坐标为。将点的坐标代入直线：的方程，得。∴。8．已知是棱长为2的正方体，点是底面的中心，是棱的中点。则四面体的体积为。【答案】1【解答】由正方体的性质知，，且。∴与延长后相交，设交点为，由是棱的中点知，。第8题答题图∴。∴四面体的体积为1。9．已知函数满足：（1）对任意的实数，；（2）对任意的实数，；（3）当时，。若关于的方程（，且）在区间内恰有6个不同的实根，则的取值范围为。112013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准【答案】【解答】在同

5、一坐标系内分别作出函数与的图像。由两函数图像在区间内恰有6个不同的交点知，。第9题答题图∴，解得。的取值范围为。10．已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围为。【答案】【解答】易知，，是不等式的解，不是不等式的解。∴不等式的三个整数解只能为，，。不等式化为，。设，则依题意，方程的两根满足，。∴，且。解得。∴的取值范围为。11．对正整数，记为数的十进制表示的数码和（如，时，由，得）。则的最小值为。【答案】3【解答】（1）易知，为大于3的奇数，故，。（2）若，则只能是首位和末位为1，其余数码为0的数，即（其中为正整数）

6、。由无正整数解，知是大于1的整数。由知，，。由于与互质，。因此，，。结合得，。但当为大于1的整数时，。两者矛盾。因此，。（3）时，，。所以，由（1）、（2）、（3）可得，的最小值为3。112013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准12．对给定的正整数（），由不大于的连续5个正整数的和组成集合，由不大于的连续6个正整数的和组成集合，若集合的元素个数为2013，则的最大值为。【答案】12088【解答】由条件知集合由形如的数构成，其中为正整数，且。集合由形如的数构成，其中为正整数，且。由知，，所以。设（为正整数），则，，。由，知

7、，。∴由形如的数构成，其中为正整数，且。∴集合的元素个数为。由的元素个数为2013知，。∴，。的最大值为。112013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．设为曲线上任意一点，为曲线上任意一点。定义、两点间的距离的最小值为曲线与间的距离。已知曲线：，曲线：（）。（1）求曲线与曲线间的距离的表达式；（2）若关于的方程有解，求的取值范围。【解答】（1）曲线表示以为圆心，为半径的圆。设为曲线：上任意一点。则。由于，所以当时，有最小值。∴的最小值为。…

8、………………4分当，即时，。…………………8分当，即时，。∴。…………………12分（2）问题等价于求函数的值域。设，则，。∴∴，在区间上为减函数，时，的值域为。112013福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准又时，。因此，的值域为。∴的取值范围为。……………