乘法公式应用的五个层次.doc

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1、乘法公式应用的五个层次　　初中《代数》中给出了以下乘法公式：　　(a+b)(a-b)=a2-b2，　　(a±b)=a2±2ab+b2，　　(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3．　　对以上的重要公式，同学们学习时要有层次，有意识地由浅入深、由简单到综合学会应用这些公式．下面从五个方面说明乘法公式的应用．　　第一层次──正用　　即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．　　例1计算　　　　(2)(-2x-y)(2x-y)．　　　　　　　(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]　　=y2-4x2．　　第二层次──逆用　　即将

2、这些公式反过来进行逆向使用．　　例2计算　　(1)19982-1998·3994+19972；　　　　解(1)原式=19982-2·1998·1997+19972　　=(1998-1997)2=1　　　　　　　第三层次──活用　　根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．　　例3化简　　(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1．　　分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．　　解原式=(2-1)(2+1)(2

3、2+1)(24+1)(28+1)+1　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1　　=…　　=216．　　例4计算：　　(2x-3y-1)(-2x-3y+5)　　分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：-1=2-3，5=2+3，使用公式巧解．　　解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)　　=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]　　=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5．　　第四层次──变用　　解某些问题时，若

4、能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2+b2=(a+b)2-2ab，a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等，则求解十分简单、明快．　　例5已知a+b=9，ab=14，求2a2+2b2和a3+b3的值．　　解∵a+b=9，ab=14，　　∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]　　=2(92-2·14)=106，　　a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)　　=93-3·14·9=351　　第五层次──综合后用　　将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合，　　可得(a+b)2+(a-b)2=2

5、(a2+b2)；　　(a+b)2-(a-b)2=4ab；　　等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．限于篇幅，这里仅举一例．　　例6计算：　　(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．（课本P152第3(1)题）　　　　=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2