资源描述：
《高等数学2第5章多元函数积分学的应用肖萍.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第5章多元函数积分学的应用§0点函数积分定义1.设为有界闭区域,函数u=f(P)(P)为上的有界点函数.将几何体任意分成n个子闭区域1,2,…,n,其中i表示第i个子闭区域,也表示它的度量.在i上任取一点Pi,作乘积f(Pi)i,并作和如果当各子闭区域i的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为点函数f(P)在上的积分,记为即其中称为积分区域,f(P)称为被积函数,P称为积分变量,f(P)d注1.点函数积分的物理意义:设一物体占有有界闭区域,其密度为=f(P),该物体的质量为称为被积表达式,d称为度量微元.
2、注2.特别地,当f(P)=1时,有第5章多元函数积分学的应用第5章多元函数积分学的应用注3.点函数积分可分成以下六类：1.若=[a,b]R,f(P)=f(x),x[a,b],则这是f(x)在[a,b]上的定积分.当f(x)=1时,是区间长.2.若=LR2,且L是一平面曲线,f(P)=f(x,y),(x,y)L,则这是f(x,y)在平面曲线L上的第一类曲线积分.当f(x)=1时,是平面曲线L的弧长.第5章多元函数积分学的应用3.若=R3,且是一空间曲线,f(P)=f(x,y,z),(x,y,z),则这是f(x,y,z)在空间曲线上的第一类曲线积分.当
3、f(x,y,z)=1时,是空间曲线的弧长.4.若=DR2,且D是一平面区域,f(P)=f(x,y),(x,y)D,则这是f(x,y)在平面区域D上的二重积分.当f(x,y)=1时,是平面区域D的面积.第5章多元函数积分学的应用5.若=R3,且是一空间曲面,f(P)=f(x,y,z),(x,y,z),则这是f(x,y,z)在空间曲面上的第一类曲面积分.当f(x,y,z)=1时,是空间曲面的面积.6.若R3,且是一空间区域,f(P)=f(x,y,z),(x,y,z),则这是f(x,y,z)在空间区域上的三重积分.当f(x,y,z)=1时,是空
4、间区域的体积.第5章多元函数积分学的应用注4.点函数积分具有以下八条性质：设f(P),g(P)在有界闭区域上都可积,则有性质1性质2线性性性质3其中1∪2=,其中1与2无公共内点.区域可加性第5章多元函数积分学的应用性质4当f(P)=1时,有性质5若f(P)0,P,则推论1.若f(P)g(P),P,则保号性推论2.性质6设f(P)在上的最大值为M,最小值为m,则其中D()为的度量.估值性质第5章多元函数积分学的应用性质7设f(P)在上的连续,则至少有一点P*,使得其中称为函数f(P)在在上的平均值.积分中值定理性质8(对称性质)1.(
5、1)对于二重积分和第一类平面曲线积分有:若f(P)C(),关于x(y)轴对称,1为被x(y)轴切割的一半区域,则第5章多元函数积分学的应用(2)对于三重积分,第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若f(P)C(),关于xoy面(yoz面)(zox面)对称,1为被xoy面(yoz面)(zox面)切割的一半区域,则第5章多元函数积分学的应用2.(1)对于二重积分和第一类平面曲线积分有:若f(P)C(),关于原点对称,1为被过原点的任一条直线切割的一半区域,则(2)对于三重积分,第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若f(P)C(),关于原点对
6、称,1为被过原点的任一平面切割的一半区域,则第5章多元函数积分学的应用3.(轮换对称性)对于二重积分和第一类平面曲线积分有:若f(P)C(),关于y=x对称,则第5章多元函数积分学的应用(2)对于三重积分,第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:若f(P)C(),且x,y,z三个变量在的表示中地位一样,则注.轮换对称性对第二类的线面积分也成立.第5章多元函数积分学的应用§1多元函数积分学在几何上的应用1、平面图形与曲面的面积占有平面区域D的平面图形的面积为空间曲面:z=z(x,y)的面积为第5章多元函数积分学的应用以xoy平面上曲线L为准线,母线平行于z轴的
7、柱面被曲面:z=z(x,y)所截,位于与xoy坐标面之间的部分的面积为zxyoL(x,y)dsz(x,y)第5章多元函数积分学的应用例1.求由y=4–x2,y=–3x,x=1所围成的平面图形的面积S.D1D24y=4–x2x=1y=–3xyOx第5章多元函数积分学的应用例2.求曲线(x2+y2)2=2a2(x2–y2)和x2+y2a2所围成的平面图形的面积S.例3.求由y2=px,y2=qx,x2=ay,x2=by(0
