量子力学习题课辅导材料

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1、第一章绪论一、重点Planck的能量子理论、Einstein的光量子理论、Bohr-Sommerfeld量子化条件、DeBroglie波的含义和DeBroglie波的波长公式、理解波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。二、难点广义量子化条件的应用。三、内容提要量子力学（QuantumMechanics）：是研究微观实物粒子运动规律的理论。量子力学的基础：大量实验事实、旧量子论（即普朗克、玻尔量子论）。量子力学的作用：有助于人们对微观结构的认识，并具有跨学科的性质（如化学、材料科学、电子学、分子生

2、物学等）。1、黑体辐射（BlackBodyRadiation）和普朗克假设：黑体：如果一个物体能够全部吸收而不反射投射于其上的辐射，就称它为绝对黑体，简称为黑体。Planck的“能量子”假设：黑体以hν为单位交换能量，即能量具有不连续性，称能量−34单位hν为能量子，其中h=6.62559×10J⋅s为Planck常数。rhvv2、光的波动性和粒子性的关系式为：E=hν=hω，p=n=hk。λ3、玻尔的原子结构理论：定态假设；跃迁假设；量子化条件。广义的量子化条件：∫pdq=nh(n=1,2,...

3、)(Bohr—Sommerfeld量子化条件)，其中q为电子的广义坐标，p为对应的广义动量，n为量子数，且取正整数，回路积分沿轨道积分一圈。[注：∫代表对周期运动积分一个周期]4、德布罗意波及其波长v自由粒子的能量E和动量P与平面波的频率ν和波长λ之间的关系像光子和光波的关系一样，即rhvvE=hν=hω，p=n=hk，λ此即德布罗意波公式（也称德布罗意关系）。ivvvv(p⋅r−Et)Ψ=aei(k⋅r−ωt−δ)=Aeh为DeBroglie波，即描写自由粒子的平面波。hh设自由粒子的动能为E，其

4、DeBroglie波波长为：λ==。如果电子被V伏p2μE的电势差加速，则E=eV电子伏特，其中e为电子电荷的大小，于是将h,μ,e的数值代h12.25入得λ=≈Å（只用于电子），式中Planck常数h的出现表明DeBroglie波2μeVV长具有量子性质。四、典型例题例1、质量为100克的一块石头以每秒100厘米的速度飞行，其DeBroglie波长是hhh6.6×10−340−33−23λ=====6.6×10m=6.6×10A，−3−22μEpmv100×10×100×10由此可见，对于一般的宏

5、观物体，其物质波波长是很小的，很难显示波动性。12.250例2、若用150伏的电压加速电子，其DeBroglie波长λ==1A。电子的DeBroglie150波长在数量上相当（小于）晶体中的原子间距，比宏观线度要短的多，这说明了为什么电子的波动性长期没有被发现的原因。经典物理未考虑到实物粒子的波动性，因而不能解释微观领域内粒子的行为，为了建立描写微观领域粒子行为的物理学，就需要在物理学的基本概念和规律方面来一个根本的改变。例3、用量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量，箱的长宽高分别为a,b,c.

6、解：三维问题，有三个独立量子化条件，可设想粒子有三个分运动，每一分运动是自由运动。设粒子与器壁作弹性碰撞，则每碰一次时，与此壁正交方向的分动量变号（如p→−p），其余分动量不变，设想粒子从某一分运动完成一个周期，此周期中动量与xx位移同时变号，量子化条件：anhxpdq=nh⇒2pdx=2ap=nh⇒p=，（1）∫xxxx∫0xxx2abnhypdq=nh⇒2pdy=2bp=nh⇒p=，（2）∫yyyy∫0yyy2bcnhzpdq=nh⇒2pdx=2cp=nh⇒p=，（3）∫zzzz∫0zzz2c(

7、nx，ny，nz=1,2,3LL)222p，p，p都是常数，总动量平方p=p+p+p，能量是：xyzxyzp211⎡nh2⎛nh⎞2nh2⎤222⎛x⎞⎜y⎟⎛z⎞E==(px+py+pz)=⎢⎜⎟+⎜⎟+⎜⎟⎥2m2m2m⎢⎣⎝2a⎠⎝2b⎠⎝2c⎠⎥⎦h2⎡n2⎛n⎞2n2⎤⎛x⎞⎜y⎟⎛z⎞=⎢⎜⎟+⎜⎟+⎜⎟⎥，（nx，ny，nz=1,2,3LL）。8m⎢⎣⎝a⎠⎝b⎠⎝c⎠⎥⎦例4、平面转子的转动惯量为Ι，求能量允许值。解释题意：平面转子是个转动体，它的位置由一坐标（例如转角ϕ）决定，它的

8、运动是一种刚体的平面平行运动，例如双原子分子的旋转。⋅12解：按刚体力学,，转子的角动量Iω，但ω=ϕ是角速度，能量是E=Ιω。利用量子2化条件，将p理解成为角动量，q理解成转角ϕ，一个周期内的运动理解成旋转一周，则有：2πnhnh∫∫pdq=Ιωdϕ=2πΙω=nh⇒ω==，(n=1,2,3……..)02πΙΙ上式说明ω是量子化的，将其代入能量公式，得能量量子化公式：2212Ιnh2nhE=Ιω=()=。22Ι2Ι例5、有一带电荷e、质量m的粒子在平面内运动，垂直于