极限存在准则,两个重要极限.doc

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1、西南石油大学《高等数学》专升本讲义极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。【授课内容】引入

2、：考虑下面几个数列的极限1、1000个0相加，极限等于0。2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。3、，其中，，极限不能确定。对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在,且.证：取上两式同时成立,当时，恒有6西南石油大学《高等数学》专升本讲义上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′如果当(或)时,有那么存在,且等于.准则I和准则I'称为夹逼准则。【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1求解：由夹逼定理得：【说明】夹逼准则应恰当结合“放

3、缩法”使用2.单调有界准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限.如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2证明数列（重根式）的极限存在【分析】已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证：1、证明极限存在a)证明有上界，设，则6西南石油大学《高等数学》专升本讲义所以对任意的n，有a)证明单调上升所以存在2、求极限设，则，解得（舍去）所以=2二、两个重要极限1.如右图所示，，例3求下列极限（1）解：原极限（2）解：原极限==1（）（3）6西南石油大学《高等数学》专升本讲义解：

4、原极限=；2.，，；“”型【说明】（1）上述三种形式也可统一为模型（2）第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如，例4求下列极限（1）解：原极限（2）解：原极限===【补充】“”型计算公式：其中时，。证明：例5求下列极限（1）【分析】是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式解：====1（2）6西南石油大学《高等数学》专升本讲义【分析】是幂指函数，“”型，考虑用“”型计算公式。解：原极限。（3）【分析】是幂指数函数，“”型，考虑用“”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。解：原极限==【思考题1】设有k个正数，，…，，令={，，…，}，求（“大数优先”

5、准则）。解：而，所以由夹逼准则：【思考题2】设，，求解：显然。因为，所以数列有下界。又因为，所以数列单调下降，即存在。设=，则，解得，所以=【思考题3】求；解：原极限=【思考题4】求极限解：6西南石油大学《高等数学》专升本讲义【课堂练习】求。解：而，所以原极限【内容小结】1、夹逼准则当时，有，且=，则。2、单调有界准则（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。3、两个重要极限（1）为弧度）；（2），6