高考数学第五章数列、推理与证明第4讲数列的求和课件.pptx

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1、第4讲　数列的求和1.掌握等差数列、等比数列的求和公式.2.了解一般数列求和的几种方法.数列求和BA3.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝______，前8项的和S8＝______(用数字作答).10，则项数n＝_______.16255120考点1公式或分组法求和例1：(2018年天津)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；

2、(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.(2)由(1)，知T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.整理，得n2－3n－4＝0.解得n＝－1(舍)，或n＝4.所以n的值为4.【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并.【互动探究】9考点2裂项相消法求和例2：(2017年新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；解：(1)因为a1＋3a2＋…＋(2

3、n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减，得(2n－1)an＝2.又因题设可得a1＝2，满足上式，【规律方法】常见的裂项公式：【互动探究】2.(2018年天津)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列.已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，①求Tn；(1)解：设等比数列{an}的公比为q.由a1＝1，a3＝

4、a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.考点3错位相减法求和例3：(2018年浙江)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项.数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1

5、)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式.解：(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项，得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28.解得a4＝8.因为q>1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}的前n项和为Sn.【规律方法】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步

6、准确写出“Sn－qSn”的表达式.【互动探究】3.(2014年新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.(1)求{an}的通项公式；思想与方法⊙放缩法在数列中的应用例题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2,3Sn＝an＋1－2.(1)求数列{an}的通项公式；(1)解：由题设3Sn＝an＋1－2，当n≥2时，3Sn－1＝an－2，两式相减，得3an＝an＋1－an，即an＋1＝4an.又a1＝2,3a1＝a2－2，可得a2＝8，∴a2＝4a1.∴数列{an}构成首项为2，公

7、比为4的等比数列.∴an＝2×4n－1＝22n－1.【互动探究】