高考数学第五章数列、推理与证明第3讲等比数列课件.pptx

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1、第3讲　等比数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示.公比2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3.等比中项若G2＝a·b(ab≠0)，则G叫

2、做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(4)已知等比数列{an}，①若首项a1>0，公比q>1或首项a1<0，公比00，公比01，则数列{an}单调________；递减③若公比q＝1，则数列{an}为常数列；④若公比q<0，则数列{an}为摆动数列.5.等比数列

3、的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn.当q＝1时，Sn＝________；6.等比数列前n项和的性质若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍是等比数列.na1C1.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝()A.4C.16B.8D.322.(2017年新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两

4、层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()BA.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析：设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有3.(2015年新课标Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝_______.6解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比4.(2017年新课标Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝______.－

5、8解析：设等比数列的公比为q，很明显q≠－1，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由等比数列的通项公式，可得a4＝a1q3＝－8.考点1等比数列的基本运算例1：(1)(2018年新课标Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________.答案：－63(2)(2016年新课标Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为__________.解析：方法一，设等比数列{an}的公比为q，由方法二，设等比数列{an}的公比为q，所

6、以当n＝3或n＝4时，a1a2·…·an的值最大，最大值为26＝64.答案：64(3)(2018年河北石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a4＝8a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则其前5项和为()A.30B.32C.62D.64解析：由题意，得a1q3＝8a1，又a1≠0，∴q＝2.又a1，a2＋1，a3成等差数列，∴2(a2＋1)＝a1＋a3，即2(2a1＋1)＝a1＋4a1.解得a1＝2.∴S5＝2(1－25)＝62.故选C.1－2答案：C答案：32【规律方法】在解决等比数列问题时，已知

7、a1，an，q，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和q是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法.考点2等比数列的基本性质及应用例2：(1)(2016年河北衡水中学调研)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a6的值是()答案：C(2)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e

8、5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2·…·a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案：50(3)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝()A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析：方法一，设等比数列的公比为q，显然q≠1，∴S12＝15S3＝150.故选