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1、坐标系与参数方程专题一．极坐标系1、极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。θx点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.2、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，可以得出：3、简单曲线的极坐标方程⑴圆的极坐标方程①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（②以为圆心，为半径的圆的
2、极坐标方程是；③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；⑵直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是和.②②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.二．参数方程1.、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2、常见曲线的参数方程
3、（1）圆的参数方程为（为参数）；（2）椭圆的参数方程为（为参数）；椭圆的参数方程为（为参数）；（3）过定点,倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.3．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围.4．直线参数方程参数的几何意义（常结合韦达定理考查）过点P(x0,y0)且倾斜角为的直线l的参数方程为：(t为参数)。现有点M（x
4、1,y1），N（x2,y2）对应的参数分别为t1，t2。此时：t1表示P点到M的距离，即t1=PM；t2表示P点到N的距离，即t2=PN;MN=t1-t2，PM•PN=t1•t2。三．选修4-4：坐标系与参数方程（全国卷）1.．(2014卷2)2014在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,π2]．（1）求C得参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标2.（2015卷2）在直角坐标系xOy中,
5、曲线C1:x=tcosα,y=tsinα,（t为参数,且）,其中（0≤α<π）,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=23cosθ.（I）求C2与C3交点的直角坐标；（II）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值.3．（2016卷3年）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为&x=3cosα&y=sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上
6、，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.4．（2017卷3）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为&x=2+t,&y=kt,（t为参数），直线l2的参数方程为&x=-2+m,&y=mk,（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．5.（2018卷3）在直角坐标系xoy中，圆○的参数方程为&x=cosθ&y=sinθ（为参数），过点0,2且倾斜角为的直线l与圆○交于A
7、,B两点.（1）求取值范围.（2）求AB中点P的轨迹的参数方程6.（2019卷3）如图，在极坐标系中，，，，，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是，，，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线是弧CD。（1）分别写出M1，M2，的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，构成，若点在M上，且，求的极坐标．
