2019版高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性课件新人教B版必修1.pptx

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1、2.1.3函数的单调性1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.121.函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图①所示.①12当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图②所示.②如果一个函数在某个区

2、间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).12名师点拨1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.2.函数单调区间的写法(1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);(2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区

3、间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.123.函数单调性定义的逆用(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1>x2,当f(x1)f(x2)时必有x1x2.解析:对于反比例函数(k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0

4、时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.答案:D12A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数C.在[0,+∞)内是减函数D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数12【做一做1-2】函数f(x)在R上是减函数,则有()A.f(3)f(5)D.f(3)≥f(5)解析:因为函数f(x)在R上是减函数,3<5,所以f(3)>f(5).答案:C【做一做1-3】若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是,单调递减区间是.答案:[-3,1]

5、(-4,-3)和(1,4]122.判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断Δy的正、负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).12一、正确理解单调性的定义剖析:(1)第一关键——“定义域内”.研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数y=x2的定义域为R

6、,但函数y=x2在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.(2)第二关键——“某个区间”.增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具

7、有单调性,例如函数(3)别忽视“任意”和“都有”.在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1f(x2),若由此判定y=x