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1、、、林华铁实对称矩阵特征值特征向量之间的关系及其几何意义的一点注记实对称矩阵、特征值、特征向量之间的关系及其几何意义的一点注记林华铁夭津大学,。仁摘要〕本文提出并证明命题设阶实对称矩阵的特征值中有一个是单根其余是一重根,,且已知属于单根的特征向量则所有与属于单根的特征向量正交的非零向量都是属于一,,、重根的特征向量进而确定且以三阶实对称矩阵为例说明特征值与特征向量的几何意义。《》或高等代数》中,,在线性代数对于实二次型或实对称矩阵的讨论一般地是在给定一实二次型一,,,了,,二”。⋯一其中一一“,勺讨论它或。九是否为正定的及化二次型为标准形或将对角化等
2、本文讨论另一个向,。,。题提出下面的命题并给予证明在此基础上确定满足命题条件的实对称矩阵命题设。,一重根,阶实对称矩阵的个特征值中有一个是单根其余是且已知属于,单根的特征向量则所有与属于单根的特征向量正交的非零向量都是的属于一重根的特征向最。’证没,。。,,,。一重,一,,。。私二,。了。是阶实对矩阵一的单特征根凡是的根户且,一,,⋯,,了是的属于的单位特征向量与正交的向量为即有,,,十十二不妨说山拼仇解得、。,,,一文工名服一一会⋯十·一一所以、’’一’尤《,。。二,。,一,,,。一,,,,一。了,二,。一,,,,一,,,一一⋯、。是方程组以的基础
3、解系的一个线性无关的解向量的解空间为·。柑一仕灭尤⋯气戈一任尸内二十氏,一时又只,,一,无因是的重根根据在实对称矩阵的属于重特征根的特征向量中极大线“,一一性无关组所含向量的个数恰为的定理知方程组凡。的基础解系含有一个线性无关的解向量从而可知矩阵凡一的秩等于。不妨设后面的。一个方程可由第一个方程线性表示。则方程组扭君一与方程组,···。以一一一一。,,漆阶不妨设碧解得夕,,,⋯,一〔头一长。,、、。’一气凡一“,,少一“,洲“一“一“一,苏,疏所圳工科数学子比,几一、,,,,一,,⋯,,一,,,一,,⋯,,一。一,。一⋯口是方程组的基础解系的,,一个
4、线性无关的解向量。的解空间一汁⋯几,一任”凡一一。的非零向量都是的属于几的特征向量,,又因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的所以中的向量与是,,已知。一,,,正交的因而包含不的维数与的维数都等于且都是侧的子,,‘幻。,,,,,。丁,空间故这就是说一⋯界。是的属于一重根几的特征向量命题得证。推论对于刀,产,几,产阶实对称矩阵设有一个单特征根可以是其余是一重根笋,,,,,。又且属于产的特征向量为则中的非零向量也都是属于一重根产的特征向量,在。推论的证明方法与命题的证明方法相似些略去,几,,产,,下面我们来确定满足命题或推论条件的阶实对称矩阵或
5、即分别是的,,产,,,,产、,一。,,单特征根分别是的一重特征根且属于的单位特征向量为,了,。,。⋯。试确定阶实对称矩阵,,,。,⋯,几怂的由命题的证明及推论可知戈是的属于一个线性无关的特征向量。从而得可逆矩阵。,一口”一⋯”,,,·,。⋯尸一,,,或将戈正交化单位化得正交矩阵,根据实对称矩阵与对角矩阵相似的定理可得实对称矩阵一一以,,几,⋯,几一’尸以,,几,⋯凡尸一’或一产,产,⋯,内一产,,产,⋯,产一‘或一,,又一只。一,只例如一个三阶实对称矩阵二砂的特征值凡一且属于的特征向量,,,,,,为确定并给出几何解释’,,。,,,。设为属于瓜二几的特
6、征向量则灭一。即一。解之得’,一,,一,一,,一了,从空何解析几何的角度来看一个二次曲面,,,,,‘,二。,一,郑男,一。对应着一个四阶实对称矩阵““““通一“‘,“’“’盯叹以一口“口,,一,了,其中为三阶实对称矩阵⋯而齐二次函数沪,一扩内少十扩十十,则对应着一个二阶实对称矩阵因此二次曲面的特征值就是实对称矩阵的从石燮卫查矍盆业丝夔蛋逛堕特延向量之向的关系及其几何意义的一点注记·二认又。特征值次曲面的属于特征值的主方向就是的属于特征值的特征向量洲门在右手系空间直角坐标系朴朴动州论特殊的二次曲朴即一厂一尹十气少十,“。兔十气沼所对应的四阶实对称矩阵为
7、一已知二次曲面尸二一“一,“一“。一,“,一一的特征值为凡且属于的主方向为多二伙扒七丸求二次曲面的方程一。十口·口,。十利附曲面的不变量一一二⋯十封”一,,、“,,土比一三川一尸化简曲面的方程由曲面的特征值可一。碑”视翁⋯了。一丸斗。二‘,卫、」知又一仓特,曲面的标准方程为了丫几,,此曲而为椭球型椭球面虚椭球面实椭球面、,一的一,,,设曲面的属乎主方向为轴的正方向建立新的空间直角坐标系’召之’一,‘,,,‘仁。沁二,有万一,与百垂直且过坐标原点。的平面￡,。为⋯一六六六、一,,’,’,‘‘,’二,,可知,〔。〕也夕立〕弃’’二““一一任一兰奋奋奋头盲
8、一下万”丫万,了万六,是右手系在坐标系,中曲面的标准方程为文‘‘“‘。‘‘’““’此熊而可由了伪。坐标面上的
