数列中的奇偶项问题.doc

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1、数列中的奇偶项问题例1、已知数列满足：，设.（1）求并证明：（2）①证明：数列等比数列；②若成等比数列，求正整数k的值.例2、设等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．（I）求数列,的通项公式；（II）设，求数列的前项和．3、一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2m项的和是________．练习1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)A．10B．20C．30D．402、等比数列的首项为，项数是

2、偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则这个等比数列的项数为（A）（B）（C）（D）3、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝________.4、已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)A．2B．4C．5D.5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，设Sn是数列{an}的前n项和，则S2014＝(　　)A．22014－1B．3×21007－3C．3×21007－1D．3×21007－26.于数列{

3、an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.7、(2013·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＋≤(n∈N*)．8、已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.①求数列{an}的通项公式；②是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的

4、所有n的集合；若不存在，说明理由．解：（1）（2）①因为所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列可得，，则，因为成等比数列，所以，令，得，解得，得.解：（Ⅰ）由题意，，得．…………3分，，，两式相减，得数列为等比数列，．…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，=．当为奇数时，（法一）为偶数，（法二）．解析：当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)＝6m＋5m2－5m＋2

5、m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.解析：选A　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.解析：选B　依题意得＝＝2，即＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此＝4.解析：

6、选B　由＝＝＝2，且a2＝2，得数列{an}的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S2014＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2014)＝＋＝3×21007－3.对比：an＋1/an＝2n则用累乘法，解析：∵an＋1－an＝2n∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.[解题指导]　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比

7、，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．[解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.(2)证明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn＋≤.解析：①设数列{an}的公比为q

8、，则a1≠0，q≠0.由题意得即解得故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.②由①有Sn＝＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2