2010年高三数学高考易错点专题点睛：函数与导数4.doc

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1、2010年高考数学易错点专题点睛：函数与导数【原题31】已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围．【错误分析】：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用．判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数，反之亦然．【答案】：【解析】：依向量数量积的定义：故：，若在上是增函数，则在上可设．的图象是开口向下的抛物线，由根的分布原理可知：当且仅当，且，上满足，即在上是增函数．综上所述的取值范围是．【易错点点睛】1.函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极

2、值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.2.通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答的问题。3.对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度。也可以通过分离变量，转化为函数或不等式问题去解决【原题32】已知，讨论函数的极值点的个数【错误分析】：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入是导数

3、应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解．【答案】：见解析用心爱心专心【解析】：令=0得．（1）当即<0或>4时有两个不同的实根,，不妨设<，则，易判断在和两侧的符号都相反，即此时有两个极值点．（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根，于是，故在的两侧均有>0，因此无极值．（3）当△<0即0<<4时无实数根，即，故为增函数，此时无极值．综上所述：当无极值点．【易错点点睛】此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即：设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值

4、异号．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化【原题33】已知函数(其中),点从左到右依次是函数图象上三点,且.(1)证明:函数在上是减函数；(2)求证：⊿是钝角三角形;(3)试问,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．【错误分析】：函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想【答案】：见解析【解析】：(Ⅰ)用心爱心专心所以函数在上是单调减函数.(Ⅱ)证明:据题意且x1

5、)知f(x1)>f(x2)>f(x3),x2=即⊿是钝角三角形(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，则只能是即①而事实上,②由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾.所以⊿不可能为等腰三角形【易错点点睛】函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.用心爱心专心【原题34】已知是实数，函数.⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区间上的最小值.（i）写出g(a)的表达式

6、；（ii）求的取值范围，使得.【错误分析】：通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答的问题。【答案】：见解析【解析】：（1）解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（2）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，（ii）令．若，无解．若，解得．若，解得．故的取值范围为．用心爱心专心【易错点点睛】导数

7、是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等

8、问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解