一类四阶差分方程多点边值问题的正解

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1、2010年8月纯粹数学与应用数学Aug．2010第26卷第4期PureandAppliedMathematicsVb1．26NO．4一类四阶差分方程多点边值问题的正解徐有基(西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州730070)摘要：为解决多点支撑弹性梁的正解的存在性问题，运用锥上不动点指数理论，研究一类含参四阶差分方程多点边值问题．获得了当参数在一定范围内取值时正解的存在性结果，得到了正解存在的充分条件．关键词：四阶；差分方程；多点；边值问题；正解中图分类号：O175．7文献标识码：A文章编号：1008—5513(2010)04-0637-061引言在工程实践中，梁的

2、变形计算常常是通过对相应的四阶梁方程的差分格式进行计算机迭代的方法进行的．为了避免迭代的盲目性，在迭代之前对相应的差分方程的解的存在性的研究则显得十分重要．在文献【1—3】中，作者对两点边值问题进行了研究．但在实际工程应用中，更多的情形是多点边值问题，所以非常有必要对差分方程多点边值问题进行研究．文献I4_8】中，作者对二阶差分方程多点边值问题进行了研究，其中文献[4】给出二阶差分方程多点边值问题的Green函数并运用锥上不动点定理，得到了多个正解的存在性定理．对于四阶梁方程相应的差分方程多点边值问题解的存在性的研究则相对很少．本文考查四阶差分方程边值问题I△(t一2)

3、=，((t))，t∈面2，T⋯lAu(0)=0，(T+2)=Q(礼)，A(0)=0，A。u()=△u(m)正解的存在性，其中T∈{5，6，⋯)，对a，b∈N，a0时f(s)>0．2预备知识弓l理1【]若I9∈C(T1，T)，l∈li'2，T一1，0<<1，贝0问题2u-A(t-tETc2△△““(。0)：=。0，，(+1)：=aa(z)收稿日期：2009—04-01．基金

4、项目：西北师范大学科技创新工程(NwNU-KJcxGc．3-52)，甘肃省教育厅基金(0901—03)作者简介：徐有基(1970一)，硕士．研究方向：常微分方程，差分方程．纯粹数学与应用数学第26卷有唯一解㈣=一t-1ct一加cJ+薹一，tETO,T+1解(3)式可以改写为(t)=∑1a(t，)9(J)，其中(+1一t)+Q一1)J一f．，0引理2若g∈C(0，T+2)且g0，0

5、(2)的唯一∈解u(t)0．证明因为00．因此问题(2)的唯一解满足+(5)考查问题{IA4uu(O(t)-：=20)，(’+2)=三u(佗)，A(。0)：=0，△。u()：=△(m)．c6，引理3如果g∈(T0，+2)，0<，<1，n∈T2，T一1，m∈rⅡ'2，一1则问题(6)有唯一解t∈，To，T+2更进一步，若g0，则u(t)≥0．其中(—t)+Z(t—m)J

6、：一类四阶差分方程多点边值问题的正解639(+2一t)+(￡一Tt)———二—一’J兰二2+2一Tt(0)≥(+2)：l1．(11

7、)∈。定义空间B=c(1r0，T+2，)，范数lJull=ma~xtETo．+lu(t)l，则JE『是Banach空间．定义锥KCB、={∈B：()0，t∈To，T+2，。minu()~llull}，(12)C∈0．1+2对某个P>0，记={∈lp}．定义算子：JE}一B，+1TTu(t)=∑G2(t，s)∑G1(s，)，((m(13)s=lj=2引理5如果(H2)成立，U∈B，则札(t)是问题(1)的正解当且仅当=U．引理6如果(H2)成立，则算子T：B—B全连续且T：K--+．定理A设是Banach空间，是中的一个锥．设F：是一个全连