一类四阶奇异边值问题的正解存在的充分必要条件.pdf

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1、高校应用数学学报A辑App1.Math.J.ChineseUniv.Ser.A2OO318(2):149-157一类四阶奇异边值问题的正解存在的充分必要条件庞常词韦忠礼(山东建筑工程学院数理系山东济南25OO14)摘要:利用上下解方法和极大值原理给出了一般边界条件下四阶微分方程的奇异边值问题有C23[O1]和C[O1]正解存在的充分必要条件.推广了韦忠礼(1999)的结果.关键词:次线性;四阶奇异边值问题;正解中图分类号:0175.8文献标识码:A文章编号:1OOO-4424(2OO3)O2-O149-O9@1主要结果非线性微分方程的奇异边值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域[1

2、-4].本文考虑四阶微分方程的奇异边值问题(4)I(t)=f(tI(t))tE(O1)(1.1)I(O)=I(1)=O(1.2)aI~(O)-ZI/(O)=OcI~(1)-cI/(1)=O(1.3)其中aZcc满足假设(~1):a2OZ2Oc2Oc2Oa-Z>Oc-c>O6=ac-ac-Zc>O.且f满足假设(~2)f(tI)EC((O1)(O->)[O->))f(t1)$OtE(O1)且存在常数/M(->)时有:/若O

3、>)时有/若ccOf(tI))有:O>1/MO)-当(1.1)中的函数fEC([O1]>R-R)即f连续时问题(1.1)-

4、(1.3)是非奇异的.当(1.1)中的函数f在端点t=O和t=1无界时问题(1.1)-(1.3)是奇异的(条件(H2)属于奇异情形)[1]用拓扑横截定理给出了四阶微分方程奇异边值问题解的存在性的充分条件-[5]利用上下解方法和极大值原理给出了四阶次线性微分方程的奇异边值问题(1.1)在23DifiGhle边界条件(1.2)和I~(O)=I~(1)=O下C[O1]和C[O1]正解存在的充要条件-本文给出了次线性四阶微分方程的奇异边值问题(1.1)在更广泛的边界条件(1.2)23(1.3)下C[O1]和C[O1]正解的存在性-函数I(t)EC242[O1]DC(O1)称为奇异边值问题(1.1

5、)-(1.3)的C[O1]正解是指2I(t)满足问题(1.1)-(1.3)且I(t)>OtE(O1)-若I(t)是(1.1)-(1.3)的C[O1]正确且I(3)+(3)-3(O)和I(1)存在则称I(t)为奇异边值问题(1.1)-(1.3)的C[O1]正解-现列出本文的主要结果-定理1.1假设条件(H1)(H2)和2(/-/)/(1-/)<1成立-则2I)当b=c=O时奇异边值问题(1.1)-(1.3)有C[O1]正解的充分必要条件是下列不等式成立-1O(1.6)O1limt(1-s)f(ss(1-s))ds=O(1.7)+tt-Otlim(1

6、-t)sf(ss(1-s))ds=O.(1.8)-Ot-13D)当b=Oc>O时奇异边值问题(1.1)-(1.3)有C(O1]正解的充分必要条件是下列不等式成立-1O(1.9)O1limtf(ss(1-s))ds=O.(1.1O)+tt-O3I)当b>Oc=O时奇异边值问题(1.1)-(1.3)有C[O1)正解的充分必要条件是下列不等式成立-1O<(1-t)f(tt(1-t))dt<>(1.11)Otlim(1-t)f(ss(1-s))ds=O.(1.12)-Ot-1定理1.2假设条件(H1)(H2)和2(/-/)/(1-/)<1成立-则奇异边值问题(1.

7、1)-3(1.3)有C[O1]正解的充分必要条件是下列不等式成立-1O-(1.13)O庞常词等:一类四阶奇异边值问题的正解存在的充分必要条件151H1推论1.1假设条件(H1)成立若f(t:)=Zpk(t):kO{1k<1pk(t)EC(O1)k=1pk(t)>OtE(O1)k=12H成立.则2(I):当b=d=O时奇异边值问题(1.1)(1.3)有C[O1]正解的充分必要条件是不等式(1.6)(1.8