数学三角恒等式.doc

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1、三角恒等式三角函数两角和与差内容证明取直角坐标系，作单位圆；取一点A，连接OA，与X轴的夹角为α；取一点B，连接OB，与X轴的夹角为β，则OA与OB的夹角即为α-β∵A（cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，O(0,0)∴OA=(cosα,sinα)，OB=(cosβ,sinβ)（向量）∴OA·OB=

2、OA

3、

4、OB

5、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ∵

6、OA

7、=

8、OB

9、=1∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ取β=-β，可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ以上内容来自：[3] 三角函数和差化积三角函数

10、积化和差三角函数二倍角公式三角函数三倍角公式sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan²α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot²α-1)三角函数n倍角公式根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式sin(n

11、α)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α三角函数半角公式sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotαcot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1

12、+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotαsec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]三角函数辅助角公式公式：（其中φ满足，）三角函数万能公式sina=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]cosa=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]tana=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]三角函数降幂公式sin²α=[1-cos(2α)]/2cos²α=[1+cos(2α)]/2tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

13、三角函数三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)三角函数幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)

14、2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数，这种级数称为幂级数。三角函数泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x=1+x+x²/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……(-∞

15、x

16、<1)sinx=x-x^3/3!

17、+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

18、x

19、<1)!!表示双阶乘[4] arccosx=π/2-(x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)